Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，軸于點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求面積；

（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，簡(jiǎn)述你的理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，6）或（0，2）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出OC，AC的長(zhǎng)，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，進(jìn)而可得出∠AOC＝30°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所對(duì)的直角邊為斜邊的一半可求出AB的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）根據(jù)勾股定理可求出OB的長(zhǎng)，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題得解．

（1）把代入反比例函數(shù)，得：，

所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為；

（2），軸于，

，，

，

，

∴∠OAC＝60°，

，

，

，

，

；

（3）存在，

在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，

∴OB＝，

分三種情況考慮：

①當(dāng)OP＝OB時(shí)，如圖2所示，

∵OB＝，

∴OP＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；

②當(dāng)BP＝BO時(shí)，如圖3，

當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B做BD⊥y軸于點(diǎn)D，則OD＝BC＝ABAC＝3，

∵BP＝BO，

∴OP＝2OD＝6，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，

∵BP＝BO，

∴OP＝2OC＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；

③當(dāng)PO＝PB時(shí)，如圖4所示．

若點(diǎn)P在x軸上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，

∴△BOP為等邊三角形，

∴OP＝OB＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；

若點(diǎn)P在y軸上，設(shè)OP＝a，則PD＝3a，

∵PO＝PB，

∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3a）2＋3，

解得：a＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），

綜上所述：在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P，使得以O、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，6）或（0，2）．