【題目】如圖,在平面直角坐標系中,將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在兩坐標軸上,直角頂點C的坐標為(1,0),點B在拋物線y=ax2+ax2上.

1)點A的坐標為 ,點B的坐標為 ;拋物線的解析式為

2)設拋物線的頂點為D,求△DBC的面積;

3)在拋物線上是否還存在點P(點B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1A02);B1);23P)或(2,1

【解析】

1)過點BBFx軸于F,先根據(jù)勾股定理求出OA的長,即可得出點A的坐標,再求出OF、BF的長即可求出B的坐標;再把點B的坐標代入拋物線的解析式,求出a的值,即可求出拋物線的解析式;

2)先求出點D的坐標,再用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,設直線BDx軸交點為E,求出CE的長,再根據(jù)SDBC=SCEB+SCED進行計算即可;

3)假設存在點P,①若以點C為直角頂點;則延長BC至點P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,過點P1P1Mx軸,由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC,再由全等三角形的對應邊相等可得出點P1點的坐標;

②若以點A為直角頂點;則過點AAP2CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,過點P2P2Ny軸,同理可證△AP2N≌△CAO,由全等三角形的性質可得出點P2的坐標;點P1、P2的坐標代入拋物線的解析式進行檢驗即可.

1)∵C-1,0),AC=,

OA==2,

A02);

過點BBFx軸于F,垂足為F

∵∠ACO+CAO=90,∠ACO+BCF=90

∴∠CAO=BCF,

在ΔAOC和ΔCFB中,

,

∴ΔAOC≌ΔCFB

CF=AO=2,BF=CO=1

OF=3,

B(-3,1)

B(-3,1)代入y=ax2+ax2中,得:1=9a-3a-2,

解得:a=,

∴拋物線的解析式為y=x2+x2

故答案為:A0,2);B,1);;

2)由知,拋物線的頂點坐標D(,),
設直線BD的關系式為y=kx+b,將點BD的坐標代入得:

,

解得:,

∴直線BD的解析式為,設直線BDx軸交于點E

則點E,0),CE=,

SDBC=SCEB+SCED==

3)假設存在點P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:
①若以點C為直角頂點;
則延長BC至點P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,
過點P1P1Mx軸,
CP1=BC,∠MCP1=BCF,∠P1MC=BFC=90 °,
∴△MP1C≌△FBC
CM=CF=2P1M=BF=1,
P1(1,-1)
②若以點A為直角頂點;
則過點AAP2CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,
過點P2P2Ny軸,同理可證△AP2N≌△CAO,
NP2=OA=2,AN=OC=1
P2(2,1),
經(jīng)檢驗,點P1(1,-1)與點P2(2,1)都在拋物線上.

綜上所述,滿足條件的P坐標為(,)或(2,1.

練習冊系列答案
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【題目】1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,ABC是等邊三角形,點D,E分別在邊BC,AC上,若∠ADE60°,則AB,CEBD,DC之間的數(shù)量關系是   

2)拓展探究

如圖2,ABC是等腰三角形,ABAC,∠Bα,點D,E分別在邊BC,AC上.若∠ADEα,則(1)中的結論是否仍然成立?請說明理由.

3)解決問題

如圖3,在ABC中,∠B30°,ABAC4cm,點P從點A出發(fā),以1cm/s的速度沿A→B方向勾速運動,同時點M從點B出發(fā),以cm/s的速度沿B→C方向勻速運動,當其中一個點運動至終點時,另一個點隨之停止運動,連接PM,在PM右側作∠PMG30°,該角的另一邊交射線CA于點G,連接PC.設運動時間為ts),當△APG為等腰三角形時,直接寫出t的值.

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①線段EF長度是否有最小值.

②△BEF能否成為直角三角形.

小明嘗試用觀察﹣猜想﹣驗證﹣應用的方法進行探究,請你一起來解決問題.

1)小明利用幾何畫板軟件進行觀察,測量,得到lm變化的一組對應值,并在平面直角坐標系中以各對應值為坐標描點(如圖2).請你在圖2中連線,觀察圖象特征并猜想lm可能滿足的函數(shù)類別.

2)小明結合圖1,發(fā)現(xiàn)應用三角形和函數(shù)知識能驗證(1)中的猜想,請你求出l關于m的函數(shù)表達式及自變量的取值范圍,并求出線段EF長度的最小值.

3)小明通過觀察,推理,發(fā)現(xiàn)△BEF能成為直角三角形,請你求出當△BEF為直角三角形時m的值.

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根據(jù)以上信息解答下列問題:

1)本次抽樣調查的樣本容量為 ,扇形統(tǒng)計圖中的值為

2)補全條形統(tǒng)計圖;

3)若該學校有學生人,有的學生選擇了參加體育社團活動,請你估計該校選擇排球和足球這兩個興趣小組的學生大約共有多少人?

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(2)當x取何值時,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大,最大總利潤是多少?

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其他條件不變,只要把活動調節(jié)點B向下移動即可,移動的距離BF與小華的身高DE有什么數(shù)量關系?直接寫出你的結論;

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