Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．

（1）求證：BE=CD；

（2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；

（2）先證明△ABE是等邊三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS證明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面積=△ECF的面積，因此平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AEBF，即可得出結果．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；

（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，∵∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，AF=EF，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面積=△ECF的面積，∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AEBF=×4×=．