Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、E位于⊙O上AB兩側(cè)．在BA的延長線上取點D，使∠ACD＝∠B．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）當BC＝EC時，求證：AC2＝AEAD；

（3）在（2）的條件下，若BC＝4，AD：AE＝5：9，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，證明∠DCO＝90°即可．

（2）連接BE．證明△ACD∽△AEC可得結(jié)論．

（3）設AD＝5k，AE＝9k，則AC＝3k，由△ACD∽△AEC，可得＝，推出CD＝，由△DCA∽△DBC，可得CD2＝DADB，推出DB＝，推出AB＝﹣5k，根據(jù)AC2+BC2＝AB2，構(gòu)建方程求出k即可解決問題．

（1）證明：連接OC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠B＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠ACO+∠B＝90°，

又∵∠ACD＝∠B，

∴∠ACD+∠ACO＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴DC是⊙O的切線；

（2）解：連接BE．

∵BC＝EC，

∴，

∴∠CAB＝∠CBE，

∵四邊形CAEB內(nèi)接于圓，

∴∠CBE+∠CAE＝180°，

又∵∠CAD+∠CAB＝180°，

∴∠CAD＝∠CAE，

又∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠AEC，

∴∠ACD＝∠AEC，

∴△ACD∽△AEC，

∴．

∴AC2＝AEAD；

（3）解：設AD＝5k，AE＝9k，則AC＝3k，

∵△ACD∽△AEC，

∴＝，

∴＝，

∴CD＝，

∵∠D＝∠D，∠ACD＝∠CBD，

∴△DCA∽△DBC，

∴CD2＝DADB，

∵DB＝，

∴AB＝﹣5k，

∵∠ACB＝90°，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴（3k）2+（4）2＝（）2，

整理得：81k4+684k2﹣320＝0，

∴（9k2+80）（9k2﹣4）＝0，

∴k2＝，

∵k＞0，

∴k＝，

∴AB＝，

∴⊙O的半徑為．