【題目】如圖1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)B,C分別在AD,AF上,此時(shí)BD=CF,BD⊥CF成立.

(1)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí),如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明,若不成立,請說明理由;

(2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖3,延長DB交AF,CF于點(diǎn)N,H.
①求證:BD⊥CF;
②當(dāng)AB=2,AD=3 時(shí),求線段AN的長.

【答案】
(1)解:BD=CF.

理由如下:如圖2中,由題意得,∠CAF=∠BAD=θ,

在△CAF和△BAD中,

,

∴△CAF≌△BAD,

∴BD=CF


(2)解:①由(1)得△CAF≌△BAD,

∴∠CFA=∠BDA,

∵∠FNH=∠DNA,∠DNA+∠NDA=90°,

∴∠CFA+∠FNH=90°,

∴∠FHN=90°,即BD⊥CF;

②如圖3中,作BM⊥AD于M,

在Rt△AMB中,∵∠BAM=45°,AB=2,

∴AM=BM= ,DM=3 =2

BM∥AN,

= ,

= ,

∴AN=


【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)易證明△CAF≌△BAD,即可求證結(jié)論。
(2)①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、△CAF≌△BAD,得出∠CFA=∠BDA,再證明∠FHN=90°,根據(jù)垂直的定義證明即可;
②作BM⊥AD于M,在Rt△AMB中,由∠BAM=45°,AB=2,推出AM=BM,求得DM、BM的長。再根據(jù)平行線分線段成比例得出比例式,建立方程即可求得AN的值。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用垂線的性質(zhì)和平行線分線段成比例,掌握垂線的性質(zhì):1、過一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直.2、垂線段最短;三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)當(dāng)△ODC的面積是△ABD的面積的3倍時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

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(1)1A型車和1B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸?

(2)請你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案;

(3)A型車每輛需租金100元/次,B型車每輛需租金120元/次.請選出最省錢的租車方案,并求出最少租車費(fèi).

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