【題目】在正方形ABCD和正方形DEFG中,頂點B、D、F在同一直線上,HBF的中點.

(1)如圖1,若AB=1,DG=2,求BH的長;

(2)如圖2,連接AH,GH.

小宇觀察圖2,提出猜想:AH=GH,AHGH.小宇把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:

想法1:延長AHEF于點M,連接AG,GM,要證明結(jié)論成立只需證△GAM是等腰直角三角形;

想法2:連接AC,GE分別交BF于點M,N,要證明結(jié)論成立只需證△AMH≌△HNG.…

請你參考上面的想法,幫助小宇證明AH=GH,AHGH.(一種方法即可)

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】

1)先根據(jù)勾股定理得出BDDF,進而求出BF,即可得出結(jié)論;

2想法1、先判斷△ABH≌△MFH,進而判斷出△ADG≌△MFG.即可判斷出△AGM為等腰直角三角形即可得出結(jié)論;

想法2、先判斷出MN=BF.進而判斷出△AMH≌△HNG,即可判斷出∠AHM+∠GHN=90°.即可得出結(jié)論

1∵正方形中ABCD和正方形DEFG∴△ABD,GDF為等腰直角三角形

AB=1,DG=2,∴由勾股定理得BD=,DF=2

B、D、F共線,BF=3

HBF的中點BH=BF=

2想法1

如圖1,延長AHEF于點M連接AG,GM

∵正方形中ABCD和正方形DEFGBD、F共線,ABEF,∴∠ABH=MFH

又∵BH=FH,AHB=MHF,∴△ABH≌△MFH,AH=MH,AB=MF

AB=AD,AD=MF

DG=FG,ADG=MFG=90°,∴△ADG≌△MFG,∴∠AGD=MGFAG=MG

又∵∠DGM+∠MGF=90°,∴∠AGD+∠DGM=AGM=90°,∴△AGM為等腰直角三角形

AH=MH,AH=GHAHGH

想法2

如圖2,連接ACGE分別交BF于點M,N

∵正方形中ABCD和正方形DEFGBD、F共線ACBF,GEBF,DM=AM=BD,DN=GN=DF,∴∠AMD=GNH=90°,MN=BF

HBF的中點,BH=BF,BH=MN,BHMH=MNMH,BM=HN

AM=BM=DM,AM=HN=DMMD+DH=NH+DH,MH=DN

DN=GNMH=GN

在△AMH和△HNG中,∵AM=HN,∠AMD=∠HNG,MH=NG∴△AMH≌△HNG,AH=GH,AHM=HGN

∵∠HGN+∠GHN=90°,∴∠AHM+∠GHN=90°,∴∠AHG=90°,AHGH,AH=GHAHGH

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(3)在(2)的條件下,請根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)說明:隨著m的增大,W的變化情況.

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