Question

【題目】如圖①，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，0），AB∥y軸，點(diǎn)C在y軸上，一次函數(shù)y=x+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、C．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____；

（2）如圖②，直線l經(jīng)過點(diǎn)C，且與直線AB交于點(diǎn)M，O'與O關(guān)于直線l對(duì)稱，連接CO'并延長(zhǎng)，交射線AB于點(diǎn)D．

①求證：△CMD是等腰三角形；

②當(dāng)CD=5時(shí)，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】 （0，3） （﹣4，2） (2)見解析 (3) y=x+3

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，y），把x=-4代入y=x+3中得y=2，即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；
②如圖②，過點(diǎn)D作DP⊥y軸于點(diǎn)P．利用勾股定理求得CP的長(zhǎng)度，然后結(jié)合坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線l的解析式即可．

試題解析：

（1）如圖①，∵A（﹣4，0），AB∥y軸，直線y=x+3經(jīng)過點(diǎn)B、C，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y），把x=0代入y=vx+3x+3中得y=3，

∴C（0，3）；

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，

∴B（﹣4，2）；

故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；

（2）①證明：∵AB∥y軸，

∴∠OCM=∠CMD．

∵∠OCM=∠MCD，

∴∠CMD=∠MCD，

∴MD=CD，

∴CMD是等腰三角形；

②如圖②，過點(diǎn)D作DP⊥y軸于點(diǎn)P．

在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，

∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，

∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，1）．

設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0）．

把M（﹣4，1）、C（0，3）分別代入，得

，

解得

故直線l的解析式為y=x+3．