Question

將二次函數(shù)y=2x²（如圖）向右平移1個單位所得的二次函數(shù)的圖象的頂點為點D，并與y軸交于點A．
（1）寫出平移后的二次函數(shù)的對稱軸與點A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)平移后的二次函數(shù)的對稱軸與函數(shù)y=2x²的交點為點B，試判斷四邊形OABD是什么四邊形？請證明你的結(jié)論；
（3）能否在函數(shù)y=2x²的圖象上找一點P，使△DBP是以線段DB為直角邊的直角三角形？若能，請求出點P的坐標(biāo)；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）∵平移后的二次函數(shù)的解析式為y=2（x-1）²，
∴平移后的二次函數(shù)的對稱軸是x=1，點A的坐標(biāo)是（0，2）．

（2）∵平移后的二次函數(shù)的對稱軸是x=1，
∴與函數(shù)y=2x²的交點B的坐標(biāo)是（1，2），
∵y=2（x-1）^2_的頂點D的坐標(biāo)是（1，0），
∴四邊形OABD是矩形．

（3）當(dāng)P點在P₁處時，△DBP是以線段DB為直角邊的直角三角形，
此時點P的坐標(biāo)為（0，0），
當(dāng)P點在P₂處時，△DBP是以線段DB為直角邊的直角三角形，
此時點P的坐標(biāo)為（-1，2）．
分析：（1）本題需根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律即可得出平移后的二次函數(shù)的解析式，從而得出平移后的二次函數(shù)的對稱軸，點A的坐標(biāo)．
（2）本題需分別求出點A、B、D的坐標(biāo)即可判斷出四邊形OABD的形狀．
（3）本題需先根據(jù)題意確定出點P的位置，從而求出點P的坐標(biāo)．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時要能運用數(shù)形結(jié)合思想，把二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．