【題目】定義:如圖①,點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN,若以AM,MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).
(1)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn),若AM=2,MN=3,求BN的長(zhǎng);
(2)如圖2,在Rt△ABC中,AC=BC,點(diǎn)M,N在斜邊AB上,∠MCN=45°,求證:點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn)(提示:把△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°)
(3)在(2)的前提下,若∠BCN=15°,BN=1.求AN的長(zhǎng).
【答案】(1)或;(2)見解析;(3)2+
【解析】
(1)分兩種情況討論,根據(jù)勾股分割點(diǎn)定義可求BN的長(zhǎng);
(2)過點(diǎn)A作AD⊥AB,且AD=BN,由題意可證△ADC≌△BNC,可得CD=CN,∠ACD=∠BCN,可求∠MCD=∠MCN,則可證△MDC≌△MNC,可得MN=DM,根據(jù)勾股定理可得BN2+AM2=MN2,則點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn);
(3)過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD=BD,∠DBC=∠DCB=45°,可求∠DCN=∠DCB﹣∠NCB=30°,可得CD=DN=BD,即可求DN=,則可求AN的長(zhǎng).
(1)分兩種情況:
①當(dāng)MN為最大線段時(shí),
∵點(diǎn) M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn),
∴BN=,
②當(dāng)BN為最大線段時(shí),
∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn),
∴BN=,
綜上所述:BN的長(zhǎng)為或;
(2)如圖,過點(diǎn)A作AD⊥AB,且AD=BN,
∵AD=BN,∠DAC=∠B=45°,AC=BC,
∴△ADC≌△BNC(SAS),
∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,
∵∠MCN=45°,
∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°,
∴∠MCD=∠MCN,且CD=CN,CM=CM,
∴△MDC≌△MNC(SAS),
∴MN=DM,
在Rt△MDA中,AD2+AM2=DM2,
∴BN2+AM2=MN2,
∴點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn);
(3)如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,
∵AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴AD=CD=BD,∠DBC=∠DCB=45°,
∵∠BCN=15°,
∴∠DCN=∠DCB﹣∠NCB=30°,
∵tan∠DCN=,
∴CD=DN,
∴DB=DN,
∵NB=DB﹣DN=DN﹣DN=1,
∴DN=,
∴AD=DB=DN=,
∴AN=AD+DN==2+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中, ∠ACB=90°,∠CAB=30°,以AC,AB為邊向外作等邊三角形ACD和等邊三角形ABE,點(diǎn)F在AB上,且到AE,BE的距離相等.
(1)用尺規(guī)作出點(diǎn)F; (要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)連接EF,DF,證明四邊形ADFE為平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn),一般情況下,在一節(jié)40分鐘的課中,學(xué)生的注意力指數(shù)y隨時(shí)間x(分)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB、BC為線段,CD為雙曲線的一部分).
(1)分別求出線段AB和雙曲線CD的函數(shù)解析式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)開始上課后第5分鐘時(shí)與第30分鐘時(shí)比較,何時(shí)學(xué)生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題,需要講19分鐘,為了效果較好,要求學(xué)生的注意力指數(shù)至少為36,那么經(jīng)過適當(dāng)安排,老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于m(直線m上的橫坐標(biāo)都為﹣2)的對(duì)稱圖形△A1B1C1;
(2)線段上有一點(diǎn)P(﹣,),直接寫出點(diǎn)P關(guān)于直線m對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo) .
(3)線段BC上有一點(diǎn)M(a,b),點(diǎn)M關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)N(c,d),請(qǐng)直接寫出a,c的關(guān)系: ;b,d的關(guān)系: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上,且AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=18°,則∠GEF的度數(shù)是( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 108°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候,老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題.
如圖(1),要在燃?xì)夤艿?/span>l上修建一個(gè)泵站,分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短?
你可以在l上找?guī)讉(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你可以在上找?guī)讉(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
聰明的小華通過獨(dú)立思考,很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法.他把管道l看成一條直線(圖(2)),問題就轉(zhuǎn)化為,要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最。淖龇ㄊ沁@樣的:
①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.
②連接AB′交直線l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求.
請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問題.如圖在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn),BC=6,BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P,使△PDE得周長(zhǎng)最。
(1)在圖中作出點(diǎn)P(保留作圖痕跡,不寫作法).
(2)請(qǐng)直接寫出△PDE周長(zhǎng)的最小值:
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),正方形的邊與在同一直線上, 與在同一直線上,且,邊和邊所在直線的解析式分別為: 和,則點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A.(6,-1)B.(7,-1)C.(7,-2)D.(6,-2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在2016年“雙十一”期間,某快遞公司計(jì)劃租用甲、乙兩種車輛快遞貨物,從貨物量來計(jì)算:若租用兩種車輛合運(yùn),10天可以完成任務(wù);若單獨(dú)租用乙種車輛,完成任務(wù)的天數(shù)是單獨(dú)租用甲種車輛完成任務(wù)天數(shù)的2倍.
(1)求甲、乙兩種車輛單獨(dú)完成任務(wù)分別需要多少天?
(2)已知租用甲、乙兩種車輛合運(yùn)需租金65000元,甲種車輛每天的租金比乙種車輛每天的租金多1500元,試問:租甲和乙兩種車輛、單獨(dú)租甲種車輛、單獨(dú)租乙種車輛這三種租車方案中,哪一種租金最少?請(qǐng)說明理由.
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