Question

【題目】（本題共10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相切于點(diǎn)．

（1）求經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，證明：直線與相切；

（3）在軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，使面積最大，最大值是多少？并求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）∵=，∴，

設(shè)直線的函數(shù)解析式為，

則，解得

∴，

∵ 直線與軸交于點(diǎn)，

∴在中，，，

∴，

如圖1，連接，，，

則， =

∴，.......... （1分）

在與中，

∵，

∴，

∴.......... （2分）

∵與軸相切于點(diǎn)，

∴，

∴，

∵點(diǎn)在上，

∴直線與相切.......... （4分）

（3）存在，最大值是，．

【解析】

試題分析：

（1）把，，代入二次函數(shù)的解析式即可得到結(jié)果；

（2）由，得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線的解析式，在中，，，∴，連接，，，得，，證得，得到，由于與軸相切于點(diǎn)，于是得到，即可求得結(jié)論；

（3）連接，，，設(shè)，過(guò)作軸交于點(diǎn)，求得直線的解析式為，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是得到，

推出，

即可得到結(jié)論．

試題解析：

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：，

把，，代入得，解得．

∴經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：.......... （1分）

（2）∵=，∴，

設(shè)直線的函數(shù)解析式為，

則，解得

∴，

∵ 直線與軸交于點(diǎn)，

∴在中，，，

∴，

如圖1，連接，，，

則， =

∴，.......... （1分）

在與中，

∵，

∴，

∴.......... （2分）

∵與軸相切于點(diǎn)，

∴，

∴，

∵點(diǎn)在上，

∴直線與相切.......... （4分）

（3）存在點(diǎn)，使面積最大.......... （1分）

如圖2連接，，，

設(shè)，

過(guò)作軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，

則，解得．

∴直線的解析式為.......... （2分）

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

∴

.......... （3分）

∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值是.......... （4分）

當(dāng)時(shí)，，

∴.......... （5分）