Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，連接AC，BC，OP，AC與OP相交于點(diǎn)D．

（1）求證：∠B+∠CPO＝90°；

（2）連結(jié)BP，若AC＝，sin∠CPO＝，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)圓的公切線(xiàn)定理，可得到∠AOC+∠APC＝180°，再由圓周角等于圓心角的一半，可得到結(jié)果.

（2）連接BP，由解直角三角形可得到AP的長(zhǎng)度，再由勾股定理求出BP的長(zhǎng)度即可.

（1）證明：連接OC，如圖．

∵PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，

∴OC⊥PC，OA⊥PA，∠APC＝2∠CPO．

∴∠OCP＝∠OAP＝90°．

∵∠AOC+∠APC+∠OCP+∠OAP＝360°，

∴∠AOC+∠APC＝180°．

∵∠AOC＝2∠B，

∴∠B+∠CPO＝90°．

（2）解：連接BP，如圖．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°．

∴∠ABC+∠BAC＝90°．

∵∠ABC+∠CPO＝90°，

∴∠BAC＝∠CPO＝∠APO．

∵AC＝，sin∠BAC＝，

∴AB＝3，．

∵，sin∠APO＝，

∴AP＝2．

∴.