【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),對(duì)稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;
(3)點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn),CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F,交拋物線于P、Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P在第三象限.
①當(dāng)線段PQ= AB時(shí),求tan∠CED的值;
②當(dāng)以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
溫馨提示:考生可以根據(jù)第(3)問的題意,在圖中補(bǔ)出圖形,以便作答.

【答案】
(1)

解:∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

∴b=﹣2

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),

∴c=﹣3,

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣3;


(2)

解:∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),

當(dāng)y=0時(shí),x2﹣2x﹣3=0.

∴x1=﹣1,x2=3.

∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè),

∴A(﹣1,0),B(3,0)

設(shè)過點(diǎn)B(3,0)、C(0,﹣3)的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m,

,∴

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣3;


(3)

解:

①∵AB=4,PQ= AB,

∴PQ=3

∵PQ⊥y軸

∴PQ∥x軸,

則由拋物線的對(duì)稱性可得PM= ,

∵對(duì)稱軸是直線x=1,

∴P到y(tǒng)軸的距離是 ,

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ,

∴P( ,

∴F(0, ),

∴FC=3﹣OF=3﹣ =

∵PQ垂直平分CE于點(diǎn)F,

∴CE=2FC=

∵點(diǎn)D在直線BC上,

∴當(dāng)x=1時(shí),y=﹣2,則D(1,﹣2),

過點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G,

∴DG=1,CG=1,

∴GE=CE﹣CG= ﹣1=

在Rt△EGD中,tan∠CED=

②P1(1﹣ ,﹣2),P2(1﹣ ,﹣ ).

設(shè)OE=a,則GE=2﹣a,

當(dāng)CE為斜邊時(shí),則DG2=CGGE,即1=(OC﹣OG)(2﹣a),

∴1=1×(2﹣a),

∴a=1,

∴CE=2,

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的縱坐標(biāo)為﹣2,

把y=﹣2,代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣3得:x=1+ 或1﹣

∵點(diǎn)P在第三象限.

∴P1(1﹣ ,﹣2),

當(dāng)CD為斜邊時(shí),DE⊥CE,

∴OE=2,CE=1,

∴OF=2.5,

∴P和F的縱坐標(biāo)為:﹣

把y=﹣ ,代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣3得:x=1﹣ ,或1+ ,

∵點(diǎn)P在第三象限.

∴P2(1﹣ ,﹣ ).

綜上所述:滿足條件為P1(1﹣ ,﹣2),P2(1﹣ ,﹣ ).


【解析】已知C點(diǎn)的坐標(biāo),即知道OC的長(zhǎng),可在直角三角形BOC中根據(jù)∠BCO的正切值求出OB的長(zhǎng),即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo).已知了△AOC和△BOC的面積比,由于兩三角形的高相等,因此面積比就是AO與OB的比.由此可求出OA的長(zhǎng),也就求出了A點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,∠ABC=90°,DE分別在BC、AC上,ADDE,且ADDE,點(diǎn)FAE的中點(diǎn),FD、AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,連接MC

(1)求證:∠FMC=∠FCM;

(2)將條件中的ADDE(1)中的結(jié)論互換,其他條件不變,命題是否正確?請(qǐng)給出理由.

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(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,過點(diǎn)P作BD的平行線,交AB于點(diǎn)Q,連接DQ,設(shè)AQ=m,△PDQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,以及S的最大值;

(3)如圖2,拋物線對(duì)稱軸與x軸交與點(diǎn)G,E為OG的中點(diǎn),F(xiàn)為點(diǎn)C關(guān)于DG對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線EF、DG的垂線,垂足為M、N,連接MN,直接寫出△PMN為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°

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如圖,在同一平面內(nèi)有三點(diǎn)A,B,C

(1)畫直線AC

(2)畫射線CB;

(3)過點(diǎn)B作直線AC的垂線BD,垂足為D;

(4)畫線段AB及線段AB的中點(diǎn)E,連接DE

(5)通過畫圖和測(cè)量,與線段DE長(zhǎng)度相等的線段有__________

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(1)用“<”將a,b,c連接起來(lái).

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(3)化簡(jiǎn)|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|

(4)用含a,b的式子表示下列的最小值:

①|(zhì)x﹣a|+|x﹣b|的最小值為   ;

②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值為   

③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值為   

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(2)連接CE,求△BEC的周長(zhǎng).

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解:作,垂足為

,

________三角形,

________

又∵,

________,即________;

又∵________(自己所作),

是線段________的垂直平分線;

________

________

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