【題目】如圖,在平面直角坐標系 xOy 中,點 A 是一次函數(shù) y 3x 20 y x 12的交點,過點 A 分別作 x 、 y 軸的垂線段,垂足分別是 B C ,動點 P Q 1個單位/秒的速度,分別從點C 、 B 出發(fā),沿線段CA 、 BO 方向,向終點 A 、O 運動,設運動時間為t.

1)證明:無論運動時間t 0 t 8取何值,四邊形OPAQ 始終為平行四邊形;

2)當四邊形OPAQ 為菱形時,請求出此時 PQ 的長度及直線 PQ 的函數(shù)解析式;

3)當OP 滿足 2 OP 5時,連接 PQ ,直線 PQ y 軸交于點 M ,取線段 AC 的中點 N ,試確定 MNP 的面積 S 與運動的時間t 之間的函數(shù)關系式,并求出 S 的取值范圍.

【答案】1)證明見解析;(2,y=2x+10;(3S=t2t3),2S3

【解析】

1)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷即可;

2)過PPHx軸于H,則CP=OH,PH=CO.解方程組求出A的坐標,由菱形的性質以及勾股定理求得t的值,進而得到OQOH,HQ的長.利用勾股定理即可求出PQ的長,利用待定系數(shù)法可得到直線PQ的解析式.

3)分別計算出當OP=OP=5時,對應的t的值,即可得出t的取值范圍.

再利用相似三角形的判定與性質表示出MC,然后利用三角形面積公式即可得出結論.

1)∵0 t 8,∴CP=QB=t

CA=OB,∴PA=OQ

PAOQ,∴四邊形OPAQ為平行四邊形.

2)過PPHx軸于H,則CP=OH,PH=CO

解方程組得:,∴A84),∴CO=BA=4,OB=CA=8

∵四邊形OPAQ 為菱形,∴OP=PA=OQ=8-t.在RtCPO中,∵OC2+CP2=OP2,∴,解得:t=3,∴OQ=8-t=5OH=CP=3,∴HQ=OQ-OH=5-3=2

PH=CO=4,∴PQ===

CP=3,OQ=5,∴P34),Q50).設直線PQ的解析式為y=kx+b,∴,解得:,∴.設直線PQ的解析式為y=2x+10

3)當OP=時,CP==2,∴t=2;

OP=5時,CP==3,∴t=3;∴2t3

CPOQ,∴△MCP∽△MOQ,∴,∴,解得:MC=

CA=8,∴CN=4,∴PN=4t,∴△MNP的面積S=PNCM==t,∴S=t2t3),∴2S3

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