【題目】矩形ABCD中,AB=2,AD=3,O為邊AD上一點,以O為圓心,OA為半徑r作⊙O,過點B作⊙O的切線BF,F為切點.
(1)如圖1,當⊙O經(jīng)過點C時,求⊙O截邊BC所得弦MC的長度;
(2)如圖2,切線BF與邊AD相交于點E,當FE=FO時,求r的值;
(3)如圖3,當⊙O與邊CD相切時,切線BF與邊CD相交于點H,設(shè)△BCH、四邊形HFOD、四邊形FOAB的面積分別為S1、S2、S3,求的值.
【答案】(1)CM=;(2)r=2﹣2;(3)1.
【解析】
(1)如圖1中,連接OM,OC,作OH⊥BC于H.首先證明CM=2OD,設(shè)AO=CO=r,在Rt△CDO中,根據(jù)OC2=CD2+OD2,構(gòu)建方程求出r即可解決問題.
(2)證明△OEF,△ABE都是等腰直角三角形,設(shè)OA=OF=EF=r,則OE=r,根據(jù)AE=2,構(gòu)建方程即可解決問題.
(3)分別求出S1、S2、S3的值即可解決問題.
解:(1)如圖1中,連接OM,OC,作OH⊥BC于H.
∵OH⊥CM,
∴MH=CH,∠OHC=90°,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=∠HCD=90°,
∴四邊形CDOH是矩形,
∴CH=OD,CM=2OD,
設(shè)AO=CO=r,
在Rt△CDO中,∵OC2=CD2+OD2,
∴r2=22+(3﹣r)2,
∴r=,
∴OD=3﹣r=,
∴CM=2OD=.
(2)如圖2中,
∵BE是⊙O的切線,
∴OF⊥BE,
∵EF=FO,
∴∠FEO=45°,
∵∠BAE=90°,
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴AB=BE=2,
設(shè)OA=OF=EF=r,則OE=r,
∴r+r=2,
∴r=2﹣2.
(3)如圖3中,
由題意:直線AB,直線BH,直線CD都是⊙O的切線,
∴BA=BF=2,FH=HD,設(shè)FH=HD=x,
在Rt△BCH中,∵BH2=BC2+CH2,
∴(2+x)2=32+(2﹣x)2,
∴x=,
∴CH=,
∴S1=
S2=,
S3==3,
∴.
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【題目】如圖,某校準備給長12米,寬8米的矩形室內(nèi)場地進行地面裝飾,現(xiàn)將其劃分為區(qū)域Ⅰ(菱形),區(qū)域Ⅱ(4個全等的直角三角形),剩余空白部分記為區(qū)域Ⅲ;點為矩形和菱形的對稱中心,,,,為了美觀,要求區(qū)域Ⅱ的面積不超過矩形面積的,若設(shè)米.
甲 | 乙 | 丙 | |
單價(元/米2) |
(1)當時,求區(qū)域Ⅱ的面積.
(2)計劃在區(qū)域Ⅰ,Ⅱ分別鋪設(shè)甲,乙兩款不同的深色瓷磚,區(qū)域Ⅲ鋪設(shè)丙款白色瓷磚,
①在相同光照條件下,當場地內(nèi)白色區(qū)域的面積越大,室內(nèi)光線亮度越好.當為多少時,室內(nèi)光線亮度最好,并求此時白色區(qū)域的面積.
②三種瓷磚的單價列表如下,均為正整數(shù),若當米時,購買三款瓷磚的總費用最少,且最少費用為7200元,此時__________,
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【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=75°,BC=7,△ABC的面積為14,D為 BC邊上一動點(不與B,C重合),將△ABD和△ACD分別沿直線AB,AC翻折得到△ABE與△ACF,那么△AEF的面積最小值為_____.
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為5,點D,P,L分別在邊AB,BC,CA上,AD=BP=CL=x(x>0).按如圖方式作邊長均為3的等邊△DEF,△PQR,△LMN,點F,R,N分別在射線DA,PB,LC上.
①當邊DE,PQ,LM與△ABC的三邊圍成的圖形是正六邊形時,x=_____;
②當點D與點B重合時,EF,QR,MN所圍成的三角形的周長為_____.
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【題目】將兩個圓形紙片(半徑都為1)如圖重疊水平放置,向該區(qū)域隨機投擲骰子,則骰子落在重疊區(qū)域(陰影部分)的概率大約為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,已知拋物線分別交x軸、y軸于點A(2,0)、B(0,4),點P是線段AB上一動點,過點P作PC⊥x軸于點C,交拋物線于點D.
(1)若.
①求拋物線的解析式;
②當線段PD的長度最大時,求點P的坐標;
(2)當點P的橫坐標為1時,是否存在這樣的拋物線,使得以B、P、D為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜邊BC上的兩點,∠EAD=45°,將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AFB,連接EF.
(1)求證:EF=ED;
(2)若AB=2,CD=1,求FE的長.
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【題目】如圖,海上有A、B、C三座小島,小島B在島A的正北方向,距離為121海里,小島C分別位于島B的南偏東53°方向,位于島A的北偏東27°方向,求小島B和小島C之間的距離.(參考數(shù)據(jù):sin27°≈,cos27°≈,tan27°≈,sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈)
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點B出發(fā)沿線段BC、CD以2cm/s的速度向終點D運動;同時,點Q從點C出發(fā)沿線段CD、DA以1cm/s的速度向終點A運動(P、Q兩點中,只要有一點到達終點,則另一點運動立即停止).
(1)運動停止后,哪一點先到終點?另一點離終點還有多遠?
(2)在運動過程中,△APQ的面積能否等于22cm2?若能,需運動多長時間?若不能,請說明理由.
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