Question

【題目】如圖，直線 y＝－2x＋4分別與 y 軸、x 軸交于點 A、點 B，點 C 的坐標為(－2，0)，D 為線段 AB上一動點，連接 CD 交 y 軸于點 E．

（1）求出點 A、點 B 的坐標；

（2）若，求點 D 的坐標；

（3）在（2）的條件下，點 N 在 x 軸上，直線 AB 上是否存在點 M，使以 M，N，D，E 為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出 M 點的坐標;若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(0，4)，B(2，0) ；（2）D(1，2)；（3）存在，M( , )或 M( ,-)．

【解析】

(1)先令求出y的值，再令y=0求出x的值即可得出A、B兩點的坐標；

(2)根據(jù)題意得，利用三角形面積公式可求得=2，從而求得點D的坐標；

(3)利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，得到點E的坐標，分點N在線段OB上、點N在OB延長線上兩種情況討論，求得直線MN的解析式，利用求得兩直線交點的方法即可求得點M的坐標．

(1)對于直線 y=-2x+4，

令，則，令，則，

∴A、B兩點的坐標分別為(0，4)、(2，0)；

(2)∵，

∴，

∴×4×yD=×4×2，

∴=2，

∴點D的坐標為(1，2)；

(3)設直線CD的解析式為，

把點C、D的坐標(-2，0)、(1，2)代入得：，

解得：，

∴直線CD的解析式為，

令，則，

∴點E的坐標為(0，)；

①當點N在線段OB上時，DENM為平行四邊形，如圖：

過E作EF∥OB交AB于點F，

∵點F在直線 y=-2x+4上，

∴點F的縱坐標與點E的縱坐標相等，

∴=-2x+4，

∴點F的坐標為(，)，

∵DENM為平行四邊形，

∴EN∥DM，EN=DM，DE=MN，MN∥CD，

∵EF∥OB，

∴四邊形EFBN也為平行四邊形，

∴BN=EF=，

∴ON=2-=，

∴點N的坐標為(，0)，

設直線MN的解析式為，

將點N的坐標為(，0)代入得：，

∴直線MN的解析式為，

解方程組得：，

∴點M的坐標為(，)；

②當點N在OB延長線上時，DENM為平行四邊形，如圖：

同理：BN=EF=，

∴ON=2+=，

∴點N的坐標為(，0)，

設直線MN的解析式為，

將點N的坐標為(，0)代入得：，

∴直線MN的解析式為，

解方程組得：，

∴點M的坐標為(，)；

綜上，點M的坐標為(，)或(，) ．