Question

【題目】（閱讀）如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，

∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，我們把這個(gè)操作過(guò)程記為FZ[θ，a]．

（理解）

若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則這個(gè)操作過(guò)程為FZ[45°，3]；

（嘗試）

（1）若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），求θ；

（2）經(jīng)過(guò)FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上，求出a的值；若點(diǎn)E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）θ =30°；（2）當(dāng)0＜a＜5時(shí)，點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部．

【解析】

（1）先根據(jù)ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)，由折疊可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）根據(jù)點(diǎn)E四邊形0ABC的邊AB上可知AB⊥直線l，根據(jù)由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2．再由θ=45°，AB⊥直線l，得出△ADE為等腰直角三角形，故可得出OA的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)論．

（1）連接CD并延長(zhǎng)，交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

在△BCD與△AFD中，

，

∴△BCD≌△AFD（ASA）．

∴CD=FD，即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)，

∴OD=CF=CD．

又由折疊可知，OD=OC，

∴OD=OC=CD，

∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，

∴θ=∠COD=30°；

（2）∵點(diǎn)E四邊形OABC的邊AB上，

∴AB⊥直線l

由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2．

∵θ=45°，AB⊥直線l，

∴△ADE為等腰直角三角形，

∴AD=DE=2，

∴OA=OD+AD=3+2=5，

∴a=5；

由圖可知，當(dāng)0＜a＜5時(shí)，點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部．