Question

【題目】圓O的半徑為，點M的坐標為（m，3），若在圓O上存在一點N, 以M、N為正方形的兩個頂點，且正方形的邊均與兩條坐標軸垂直，則m的最小值為_________

Answer 1

【答案】-5

【解析】

根據(jù)M、N為正方形的兩個頂點，分MN為邊或MN為對角線兩種情況討論：當 MN為邊時，根據(jù)點N在圓上可得m的取值范圍；當MN為對角線時，根據(jù)正方形的性質(zhì)，直線MN與x軸的夾角為45°，由點N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點，由此可以求出m的范圍．

當MN為正方形的邊時：

∵正方形各邊與坐標軸垂直，

∴點N的橫坐標為m，

又∵點N在圓O上，圓O半徑為，

∴；

當MN為正方形對角線時：

設直線MN的解析式為y=kx+b，

∵MN為正方形對角線，且正方形的邊與坐標軸垂直，

∴直線MN與x軸的夾角為45°，

∴k=±1，

∵點N在O上，

∴直線MN與圓O必有交點，

當k=1時，作圓O的切線AD和BC，且與直線MN平行，其中A、C為圓O的切點，直線AD與y軸交于點D，直線BC與y軸交于點B，連接OA，OC，

把M(m，3)代入y=x+b，得b=3m，

∴直線MN的解析式為：y=x+3m，

∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，

∴OD=OA=2，

∴D(0，2)，

同理可得：B(0，－2)，

∴令x=0代入y=x+3m，

∴y=3m，

∴2≤3m≤2，

∴1≤m≤5，

當k=－1時，把M(m，3)代入y=－x+b，得b=3+m，

∴直線MN的解析式為：y=－x+3+m，

同理可得：2≤3+m≤2，

∴5≤m≤1；

綜上所述，m可以取的最小值為－5.