精英家教網(wǎng)如圖所示.ABCD是梯形,AD∥BC,AD<BC,AB=AC且AB⊥AC,BD=BC,AC,BD交于O.求∠BCD的度數(shù).
分析:由于△BCD是等腰三角形,若能確定頂點(diǎn)∠CBD的度數(shù),則底角∠BCD可求.由等腰Rt△ABC可求知斜邊BC(即BD)的長(zhǎng).又梯形的高,即Rt△ABC斜邊上的中線也可求出.通過添輔助線可構(gòu)造直角三角形,求出∠BCD的度數(shù).
解答:精英家教網(wǎng)解:過D作DE⊥EC于E,則DE的長(zhǎng)度即為等腰Rt△ABC斜邊上的高AF,
設(shè)AB=a,由于△ABF也是等腰直角三角形,由勾股定理知AF2+BF2=AB2
即2AF2=a2(AF=BF),
∴AF2=
a2
2

∴DE2=
a2
2
,
又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2
由于BC=DB,
∴在Rt△BED中,
DE2
DB2
=
DE2
BC2
=
a2
2
2a2
=
1
4
,
DE
DB
=
1
2
,
從而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的對(duì)邊等于斜邊一半定理的逆定理).
在△CBD中,∴∠BCD=
1
2
(180°-∠EBD)=75°
點(diǎn)評(píng):本題考查了梯形及直角三角形的性質(zhì),難度一般,關(guān)鍵是通過添輔助線可構(gòu)造直角三角形.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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15
15
cm.

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如圖所示,ABCD是矩形,E在CD上,F(xiàn)在BC上,∠AEF=90°.
求證:
(1)△ADE∽△ECF;
(2)AE•EC=EF•AD.

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