【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣ax(a>0,且a≠1).
(1)當(dāng)a=e,x取一切非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),若 ,求b的范圍;
(2)若函數(shù)f(x)存在極大值g(a),求g(a)的最小值.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=e時(shí),f(x)=x﹣ex,

原題分離參數(shù)得 恒成立,

令g(x)= x2+x﹣ex,g′(x)=x+1﹣ex,g″(x)=1﹣ex<0,

故g′(x)在[0,+∞)遞減,g′(x)<g′(0)=0,

故g(x)在[0,+∞)遞減,

g(x)≤g(0)=﹣1,

故b≥﹣1;


(2)解:f'(x)=1﹣axlna,

①當(dāng)0<a<1時(shí),ax>0,lna<0,

所以f'(x)>0,所以f(x)在R上為單增函數(shù),無極大值;

②當(dāng)a>1時(shí),設(shè)方程f'(x)=0的根為t,

則有 ,即

所以f(x)在(﹣∞,t)上為增函數(shù),在(t,+∞)上為減函數(shù),

所以f(x)的極大值為 ,

,因?yàn)閍>1,所以

,

設(shè)h(x)=xlnx﹣x,x>0,則 ,

令h'(x)=0,得x=1,

所以h(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù),

所以h(x)得最小值為h(1)=﹣1,

即g(a)的最小值為﹣1,

此時(shí)a=e.


【解析】(1)問題轉(zhuǎn)化為 恒成立,令g(x)= x2+x﹣ex , 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出g(a)的表達(dá)式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(a)的最小值即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

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D.

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