【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,已知AEBE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點(diǎn)AB在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大;

(2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值;

(3)如圖3,延長(zhǎng)BAG,已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長(zhǎng)線相交于E、F,在△AEF中,如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍,試求∠ABO的度數(shù).

【答案】(1)∠AEB的大小不變(2)∠CED的大小不變(3)∠ABO為45°或36°

【解析】分析:(1)根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°,再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線得出∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;(2)延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F,根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°,進(jìn)而得出∠OAB+∠OBA=90°,故∠PAB+∠MBA=270°,再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,可知∠BAD=∠BAP,∠ABC=∠ABM,由三角形內(nèi)角和定理可知∠F=45°,再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE=112.5°,進(jìn)而得出結(jié)論;(3))由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ,進(jìn)而得出∠E的度數(shù),由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°,在△AEF中,由一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍分四種情況進(jìn)行分類討論.

本題解析:

(1)∠AEB的大小不變,

∵直線MN與直線PQ垂直相交于O,∴∠AOB=90°,

∴∠OAB+∠OBA=90°,

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,

∴∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,

∴∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠ABO)=45°,∴∠AEB=135°;

(2)∠CED的大小不變.

延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F.

∵直線MN與直線PQ垂直相交于O,

∴∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,

∴∠PAB+∠MBA=270°,

∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,

∴∠BAD=∠BAP,∠ABC=∠ABM,

∴∠BAD+∠ABC=(∠PAB+∠ABM)=135°,

∴∠F=45°,

∴∠FDC+∠FCD=135°,∴∠CDA+∠DCB=225°,

∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,

∴∠CDE+∠DCE=112.5°,

∴∠E=67.5°; (其它方法酌情給分)

(3)∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E,

∴∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ,

∴∠E=∠EOQ-∠EAO=(∠BOQ-∠BAO)=∠ABO,

∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線,

∴∠EAF=90°.

在△AEF中,∵有一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍,故有:

①∠EAF=4∠E,∠E=22.5°,∠ABO=45°;

②∠EAF=4∠F,∠E=67.5°,∠ABO=135°(不合題意,舍去);

③∠F=4∠E,∠E=18°,∠ABO=36°;

④∠E=3∠F,∠E=72°,∠ABO=144°(不合題意,舍去).

∴∠ABO為45°或36°.

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(2)如圖1,已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))O(0,0),A(3,0),B(0,4),請(qǐng)你直接寫出所有以格點(diǎn)為頂點(diǎn),OA、OB為勾股邊且有對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)如圖2,將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△DBE,連接AD、DC,∠DCB=30°.求證:DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形.

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