Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y= x的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方．

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；
（2）設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點(diǎn)M、N，求證：△PMN是等腰三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P、B不重合），連接AQ、BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：k=4，S△PAB=15．

提示：過點(diǎn)A作AR⊥y軸于R，過點(diǎn)P作PS⊥y軸于S，連接PO，

設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)C，如圖1，

把x=4代入y= x，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），

把點(diǎn)B（4，1）代入y= ，得k=4．

解方程組 ，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1），

則點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP，

∴S△PAB=2S△AOP．

設(shè)直線AP的解析式為y=mx+n，

把點(diǎn)A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

求得直線AP的解析式為y=x+3，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

= OCAR+ OCPS

= ×3×4+ ×3×1= ，

∴S△PAB=2S△AOP=15；

（2）

解：過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖2．

B（4，1），則反比例函數(shù)解析式為y= ，

設(shè)P（m， ），直線PA的方程為y=ax+b，直線PB的方程為y=px+q，

聯(lián)立 ，解得直線PA的方程為y= x+ ﹣1，

聯(lián)立 ，解得直線PB的方程為y=﹣ x+ +1，

∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），

∴H（m，0），

∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，

∴MH=NH，

∴PH垂直平分MN，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（3）

解：∠PAQ=∠PBQ．

理由如下：

過點(diǎn)Q作QT⊥x軸于T，設(shè)AQ交x軸于D，QB的延長(zhǎng)線交x軸于E，如圖3．

可設(shè)點(diǎn)Q為（c， ），直線AQ的解析式為y=px+q，則有

，

解得： ，

∴直線AQ的解析式為y= x+ ﹣1．

當(dāng)y=0時(shí)， x+ ﹣1=0，

解得：x=c﹣4，

∴D（c﹣4，0）．

同理可得E（c+4，0），

∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，

∴DT=ET，

∴QT垂直平分DE，

∴QD=QE，

∴∠QDE=∠QED．

∵∠MDA=∠QDE，

∴∠MDA=∠QED．

∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．

∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，

∴∠PAQ=∠PBQ．

【解析】（1）過點(diǎn)A作AR⊥y軸于R，過點(diǎn)P作PS⊥y軸于S，連接PO，設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)C，如圖1，可根據(jù)條件先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求出k，然后求出直線AB與反比例函數(shù)的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP ， 要求△PAB的面積，只需求△PAO的面積，只需用割補(bǔ)法就可解決問題；（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖2．可用待定系數(shù)法求出直線PB的解析式，從而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，同理可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到MH=NH，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）過點(diǎn)Q作QT⊥x軸于T，設(shè)AQ交x軸于D，QB的延長(zhǎng)線交x軸于E，如圖3．可設(shè)點(diǎn)Q為（c， ），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AQ的解析式，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），從而得到DT=ET，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得QD=QE，則有∠QDE=∠QED．然后根據(jù)對(duì)頂角相等及三角形外角的性質(zhì)，就可得到∠PAQ=∠PBQ．
【考點(diǎn)精析】利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和三角形的面積對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；三角形的面積=1/2×底×高．