Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在半圓上，，過D作DE⊥BC于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線.

（2）若DE＝2CE＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5

【解析】

（1）如圖，連接OD、AC，由AB是直徑可得∠ACB=90°，根據DE⊥BC可得DE//AC，根據垂徑定理的推論可得OD⊥AC，即可證明OD⊥DE，由點D在圓上即可證明DE是⊙O的切線；（2）作OF⊥BC于F，可得四邊形OFED是矩形，可得OF＝DE＝4，OD＝EF，由垂徑定理可得BF＝CF，設⊙O的半徑為R，在Rt△AOF中，利用勾股定理求出R值即可.

（1）如圖，連接OD、AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE∥AC，

∵，

∴OD⊥AC，

∴DE⊥OD，

∵D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）如圖，作OF⊥BC于F，

∴BF＝CF，

∵DE⊥BE，OD⊥DE，OF⊥BC，

∴四邊形OFED是矩形，

∴OF＝DE＝4，OD＝EF，

∵DE＝2CE＝4，

∴CE＝2，

設⊙O的半徑為R，則BF＝CF＝R﹣2，

在Rt△BOF中，BF2+OF2＝OA2，

∴（R﹣2）2+42＝R2，

解得R＝5，

即⊙O的半徑為5．