Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是 上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；
（2）點P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時，∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵AB是直徑，AB⊥CD，

∴ ．

∴∠COB=∠DOB= ∠COD．

又∵∠CPD= ∠COD，

∴∠CPD=∠COB

（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．

理由如下：連接OD，

∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB= ∠COD，

又∵∠CPD= ∠COD，

∴∠COB=∠CPD，

∴∠CP′D+∠COB=180°．

【解析】（1）根據(jù)垂徑定理知，弧CD=2弧BC，由圓周角定理知，弧BC的度數(shù)等于∠BOC的度數(shù)，弧AD的度數(shù)等于∠CPD的2倍，可得：∠CPD=∠COB；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓心角、弧、弦的關(guān)系的相關(guān)知識，掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．