【題目】正方形ABCD中,將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合,一條直角邊與邊BC交于點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合),另一條直角邊與邊CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
(1)如圖①,求證:AE=AF;
(2)如圖②,此直角三角板有一個(gè)角是45°,它的斜邊MN與邊CD交于G,且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn),連接EG,求證:EG=BE+DG;
(3)在(2)的條件下,如果 = ,那么點(diǎn)G是否一定是邊CD的中點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
【答案】
(1)解:如圖①,∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°,AB=AD.
∵∠EAF=90°,
∴∠EAF=∠BAD,
∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD,
∴∠BAE=∠DAF.
在△ABE和△ADF中
,
∴△ABE≌△ADF(ASA)
∴AE=AF
(2)解:如圖②,連接AG,
∵∠MAN=90°,∠M=45°,
∴∠N=∠M=45°,
∴AM=AN.
∵點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn),
∴∠EAG=∠NAG=45°.
∴∠EAB+∠DAG=45°.
∵△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF,AE=AF,
∴∠DAF+∠DAG=45°,
即∠GAF=45°,
∴∠EAG=∠FAG.
在△AGE和AGF中,
,
∴△AGE≌AGF(SAS),
∴EG=GF.
∵GF=GD+DF,
∴GF=GD+BE,
∴EG=BE+DG
(3)解:G不一定是邊CD的中點(diǎn).
理由:設(shè)AB=6k,GF=5k,BE=x,
∴CE=6k﹣x,EG=5k,CF=CD+DF=6k+x,
∴CG=CF﹣GF=k+x,
在Rt△ECG中,由勾股定理,得
(6k﹣x)2+(k+x)2=(5k)2,
解得:x1=2k,x2=3k,
∴CG=4k或3k.
∴點(diǎn)G不一定是邊CD的中點(diǎn).
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°,AB=AD,由直角三角形的性質(zhì)∠EAF=∠BAD=90°,就可以得出∠BAE=∠DAF,證明△ABE≌△ADF就可以得出結(jié)論;(2)如圖2,連結(jié)AG,由且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn),△AMN是等腰直角三角形,就可以得出∠EAG=∠NAG=45°,就有∠EAB+∠DAG=45°,由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF,AE=AF就可以得出△AGE≌AGF,從而得出結(jié)論;(3)設(shè)AB=6k,GF=5k,BE=x,就可以得出CE=6k﹣x,EG=5k,CF=CD+DF=6k+x,就有CG=CF﹣GF=k+x,由勾股定理就可以x的值而得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,∠B=∠D,BC=DC,要判定△ABC≌△EDC,當(dāng)添加條件_________時(shí),可根據(jù)“ASA”判定;當(dāng)添加條件_____時(shí),可根據(jù)“AAS”判定;當(dāng)添加條件________時(shí),可根據(jù)“SAS”判定.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】感知:
(1)如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時(shí),可知△ABP∽△PCD.(不要求證明)
(2)探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí),求證:△ABP∽△PCD.
(3)拓展:如圖③,在△ABC中,點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=4 ,CE=3,則DE的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交A(﹣1,0)B(3,0)兩點(diǎn),直線l與拋物線交于A,C兩點(diǎn),其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線AC的函數(shù)表達(dá)式;
(3)若點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)(不與A,C重合),過(guò)M作MF∥y軸交拋物線于F,交x軸于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,連接FA,F(xiàn)C,是否存在m,使△AFC的面積最大?若存在,求m的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,AB是直徑,CD是弦,AB⊥CD.
(1)P是 上一點(diǎn)(不與C、D重合),求證:∠CPD=∠COB;
(2)點(diǎn)P′在劣弧CD上(不與C、D重合)時(shí),∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和小穎在如圖所示的四邊形場(chǎng)地上,沿邊騎自行車進(jìn)行場(chǎng)地追逐賽(兩人只要有一個(gè)人回到自己的出發(fā)點(diǎn),則比賽結(jié)束).小明從A地出發(fā),沿A→B→C→D→A的路線勻速騎行,速度為8米/秒;小穎從B地出發(fā),沿B→C→D→A→B的路線勻速騎行,速度為6米/秒.已知∠ABC=90°,AB=40米,BC=80米,CD=90米.設(shè)騎行時(shí)間為t秒,假定他們同時(shí)出發(fā)且每轉(zhuǎn)一個(gè)彎需要額外耗時(shí)2秒.
(1)填空:當(dāng)t=_____秒時(shí),兩人第一次到B地的距離相等;
(2)試問(wèn)小明能否在小穎到達(dá)D地前追上她?若能,求出此時(shí)t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,E是BC邊的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則在題中條件下,下列結(jié)論不能成立的是( )
A. BE=CE B. AB=BF C. DE=BE D. AB=DC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)在,共享單車已遍布深圳街頭,其中較為常見(jiàn)的共享單車有“A.摩拜單車”、“B.小藍(lán)單車”、“C.OFO單車”、“D.小鳴單車”、“E.凡騎綠暢”等五種類型.為了解市民使用這些共享單車的情況,某數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)統(tǒng)計(jì)部分正在使用這些單車的市民,并將所得數(shù)據(jù)繪制出了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表 (圖1、圖2):
根據(jù)所給信息解答下列問(wèn)題:
(1)此次統(tǒng)計(jì)的人數(shù)為人;根據(jù)已知信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在使用單車的類型扇形統(tǒng)計(jì)圖中,使用E 型共享單車所在的扇形的圓心角為度;
(3)據(jù)報(bào)道,深圳每天有約200余萬(wàn)人次使用共享單車,則其中使用E型共享單車的約有萬(wàn)人次.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,PC切⊙O于點(diǎn)C,AB的延長(zhǎng)線與PC交于點(diǎn)P,PC的延長(zhǎng)線與AD交于點(diǎn)D,AC平分∠DAB.
(1)求證:AD⊥PC;
(2)連接BC,如果∠ABC=60°,BC=2,求線段PC的長(zhǎng).
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