Question

【題目】為了維護海洋權益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度，一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時發(fā)現一艘不明國籍的船只停在C處海域．如圖所示，AB=60（ + ）海里，在B處測得C在北偏東45°的方向上，A處測得C在北偏西30°的方向上，在海岸線AB上有一燈塔D，測得AD=120（ - ）海里．
（參考數據： =1.41， =1.73， =2.45）

（1）分別求出A與C及B與C的距離AC、BC（結果保留根號）
（2）已知在燈塔D周圍100海里范圍內有暗礁群，我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，圖中有無觸礁的危險？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，過點C作CE⊥AB于點E，

可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，

設CE=x，

在Rt△CBE中，BE=CE=x，

在Rt△CAE中，AE= x，

∵AB=60（ + ）海里，

∴x+ x=60（ + ），

解得：x=60 ，

則AC= x=120 ，

BC= x=120 ，

答：A與C的距離為120 海里，B與C的距離為120 海里；

（2）解：如圖所示，過點D作DF⊥AC于點F，

在△ADF中，

∵AD=120（ - ），∠CAD=60°，

∴DF=ADsin60°=180 ﹣60 ≈106.8＞100，

故海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，無觸礁的危險．

【解析】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據題目中所給方向角構造直角三角形，然后利用三角函數的知識求解，難度適中．（1）如圖所示，過點C作CE⊥AB于點E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，設CE=x，在Rt△CBE與Rt△CAE中，分別表示出BE、AE的長度，然后根據AB=60（ + ）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，繼而可求出AC、BC的長度；（2）如圖所示，過點D作DF⊥AC于點F，在△ADF中，根據AD的值，利用三角函數的知識求出DF的長度，然后與100比較，進行判斷．