【題目】如圖,點C為線段AB上一點,分別以ABAC、CB為底作頂角為120°的等腰三角形,頂角頂點分別為D、EF(點E、FAB的同側(cè),點D在另一側(cè))

(1)如圖1,若點CAB的中點,則∠AED   ;

(2)如圖2,若點C不是AB的中點

①求證:DEF為等邊三角形;

②連接CD,若∠ADC=90°,AB=3,請直接寫出EF的長.

【答案】(1) 90°;(2)①見解析;

【解析】

(1)如圖1,過EEHABH,連接CD,設(shè)EH=x,則AE=2x,AHx,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=30°,進(jìn)而得到DC=CE,又因為EH∥DC,∴HEDEDC=CED,再進(jìn)一步得到∠AEH=60°,∠HED=30°,即可求出∠AED的大。唬2)①延長FCADH,連接HE,如圖2,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠FCB=∠FBC=30°,∠DAB=∠DBA=30°,∠EAC=∠ECA=30°,進(jìn)而得到ADECBF,AECFBD,所以四邊形BDHF、四邊形AECH是平行四邊形,進(jìn)而得到△AEH是等邊三角形,再根據(jù)SAS判定定理得到△DHE≌△FCE,∴∠DEF=CEH=60°,∴△DEF是等邊三角形;②如圖3,過EEMABM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),求出CD、CE的長,再根據(jù)勾股定理求出DE的長,因為△DEF是等邊三角形,∴EF=DE,即可得解.

(1)如圖1,過EEHABH,連接CD,

設(shè)EHx,則AE=2x,AHx,

AEEC

AC=2AH=2x,

CAB的中點,ADBD,

CDAB

∵∠ADB=120°,

∴∠DAC=30°,

DC=2x,

DCCE=2x,

EHDC,

∴∠HEDEDCCED,

∵∠AEH=60°,AEC=120°,

∴∠HEC=60°,

∴∠HED=30°,

∴∠AEDAEHHED=90°;

故答案為:90°;

(2)①延長FCADH,連接HE,如圖2,

CFFB,

∴∠FCBFBC

∵∠CFB=120°,

∴∠FCBFBC=30°,

同理:∠DABDBA=30°,EACECA=30°,

∴∠DABECAFBD,

ADECBF,

同理AECFBD,

∴四邊形BDHF、四邊形AECH是平行四邊形,

ECAH,BFHD,

AEEC

AEAH,

∵∠HAE=60°,

∴△AEH是等邊三角形,

AEAHHECE,AHEAEH=60°,

∴∠DHE=120°,

∴∠DHEFCE

DHBFFC,

∴△DHE≌△FCESAS),

DEEFDEHFEC,

∴∠DEFCEH=60°,

∴△DEF是等邊三角形;

②如圖3,過EEMABM,

∵∠ADC=90°,DAC=30°,

∴∠ACD=60°,

∵∠DBA=30°,

∴∠CDBDBC=30°,

CDBCAC,

AB=3,

AC=2,BCCD=1,

∵∠ACE=30°,ACD=60°,

∴∠ECD=30°+60°=90°,

AECE

CMAC=1,

∵∠ACE=30°,

CE,

RtDEC中,DE,

由①知:DEF是等邊三角形,

EFDE

練習(xí)冊系列答案
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×,××,,×,

××××

××

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