Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣4，0），直線l∥x軸，交y軸于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B（﹣4，3）在直線l上，將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度，得到矩形OA′B′C′，此時(shí)直線OA′、B′C′分別與直線l相交于點(diǎn)P、Q．

（1）當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為　 　．

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A′落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　；

（3）如圖3，當(dāng)矩形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在l上時(shí)．

①求OP的長度；②S△OPB′的值是　 　．

（4）在矩形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中（旋轉(zhuǎn)角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？如果能，請直接寫出點(diǎn)B′和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，4）；（2）（﹣，3）；（3）①OP＝ ；② ；（4）在矩形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中（旋轉(zhuǎn)角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的得到B′的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)在Rt△OCA′，利用勾股定理即可求解；

（3）①根據(jù)已知條件得到△CPO≌△A′PB′，設(shè)OP＝x，則CP＝A′P＝4﹣x，在Rt△CPO中，利用OP2＝OC2+CP2，即x2＝（4﹣x）2+32即可求出x的值，即可求解；②根據(jù)S△OPB′＝PB′OC即可求解；

（4）當(dāng)點(diǎn)B′落在x軸上時(shí)，由OB′∥PQ，OP∥B′Q，此時(shí)四邊形OPQB′為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.

解：（1）∵A（﹣4，0），B（﹣4，3），

∴OA＝4，AB＝3．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝3，

∴當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（3，4）．

故答案為：（3，4）．

（2）在Rt△OCA′中，OA′＝4，OC＝3，

∴A′C＝＝，

∴當(dāng)點(diǎn)A′落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，3）．

故答案為：（﹣，3）．

（3）①當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在BC的延長線上時(shí)，

在△CPO和△A′PB′中，，

∴△CPO≌△A′PB′（AAS），

∴OP＝B′P，CP＝A′P．

設(shè)OP＝x，則CP＝A′P＝4﹣x．

在Rt△CPO中，OP＝x，CP＝4﹣x，OC＝3，

∴OP2＝OC2+CP2，即x2＝（4﹣x）2+32，

解得：x＝，

∴OP＝．

②∵B′P＝OP＝，

∴S△OPB′＝PB′OC＝××3＝．

故答案為：．

（4）當(dāng)點(diǎn)B′落在x軸上時(shí)，∵OB′∥PQ，OP∥B′Q，

∴此時(shí)四邊形OPQB′為平行四邊形．

過點(diǎn)A′作A′E⊥x軸于點(diǎn)E，如圖4所示．

∵OA′＝4，A′B′＝3，

∴OB′＝＝5，A′E＝＝，OE＝＝，

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（，）．

設(shè)直線OA′的解析式為y＝kx（k≠0），

將A′（，）代入y＝kx，得：

＝k，解得：k＝，

∴直線OA′的解析式為y＝x．

當(dāng)y＝3時(shí)，有x＝3，

解得：x＝4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）．

∴在矩形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中（旋轉(zhuǎn)角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）．