【題目】已知:如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,P是邊AB上一動點,PE⊥CD,垂足為點E,PM⊥AB,交邊CD于點M,AD=1,AB=5,CD=4.
(1)求證:∠PME=∠B;
(2)設A、P兩點的距離為x,EM=y,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)連接PD,當△PDM是以PM為腰的等腰三角形時,求AP的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)0≤x≤;(3)當△PDM是以PM為腰的等腰三角形時,AP=或AP=1.
【解析】
(1)在四邊形BCMP中,求出∠B+∠CMP=180°,又知∠PME+∠CMP=180°,于是證明出∠PME=∠B;
(2)作AH⊥BC于H,交PE于點F,首先證明出AF⊥PE,由于PF∥BH,列出比例等式,用x表示出PF和PE,再由△PEM∽△AHB列出y與x的關系式;
(3)分類討論,當PM=PD和PM=DM分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出x的值,進而求出AP的值.
(1)證明:證法一:在四邊形BCMP中,
∵∠B+∠C+∠CMP+∠MPB=360°,∠C=∠MPB=90°
∴∠B+∠CMP=180°.
而∠PME+∠CMP=180°,
∴∠PME=∠B.
證法二:∵DC⊥BC,PM⊥AB,且∠PME與∠B都為銳角,
∴∠PME=∠B.
(2)作AH⊥BC于H,交PE于點F.
∵PE⊥CD,BC⊥CD,
∴PE∥BC.
∴AF⊥PE.
∵AH=CD=4,AB=5,
∴BH=3.
∵AD=1,
∴EF=1.
∵PF∥BH,
∴,
∴PF=x,
∴PE=x+1.
又∵∠PME=∠B,∠PEM=∠AHB=90°,
∴△PEM∽△AHB.
∴,
即
∴y=
∵PE=x+1≤BC=4,
∴x≤,
定義域為0≤x≤.
(3)(。┊PM=PD時,DE=EM.
x=x+.
解得x=,即
(ⅱ)當PM=DM時,
(x+1)=x+x+.
解得x=1,即AP=1.
綜上所述,當△PDM是以PM為腰的等腰三角形時,AP=或AP=1.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,直線BC的解析式為y=﹣x+6.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M為線段BC上方拋物線上的任意一點,連接MB,MC,點N為拋物線對稱軸上任意一點,當M到直線BC的距離最大時,求點M的坐標及MN+NB的最小值;
(3)在(2)中,點M到直線BC的距離最大時,連接OM交BC于點E,將原拋物線沿射線OM平移,平移后的拋物線記為y′,當y′經(jīng)過點M時,它的對稱軸與x軸的交點記為H.將△BOE繞點B逆時針旋轉60°至△BO1E1,再將△BO1E1沿著直線O1H平移,得到△B1O2E2,在平面內(nèi)是否存在點F,使以點C,H,B1,F(xiàn)為頂點的四邊形是以B1H為邊的菱形.若存在,直接寫出點B1的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若平面直角坐標系內(nèi)的點M滿足橫、縱坐標都為整數(shù),則把點M叫做“整點”.例如:P(1,0)、Q(2,﹣2)都是“整點”.拋物線y=mx2﹣4mx+4m-2(m0)與x軸交于點A、B兩點,若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域(包括邊界)恰有七個整點,則m的取值范圍是( )
A. <m≤1B. ≤m<1C. 1<m≤2D. 1<m<2
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標系中,已知點的坐標為.
(1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線,它與軸和軸的正半軸分別交于點和點,且與關于直線對稱.(作圖不必寫作法,但要保留作圖痕跡.)
(2)請求出(1)中作出的直線的函數(shù)表達式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,圖①是一塊邊長為1,周長記為P1的等邊三角形紙板,沿圖①的底邊剪去一塊邊長的 的等邊三角形紙板后得到圖②,然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的等邊三角形紙板(即其邊長為前一塊被剪掉等邊三角形紙板邊長的 )后,得圖③,④,…,記第n(n≥3)塊紙板的周長為Pn,則Pn-Pn-1=_________
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】 隨著新學校建成越來越多,絕大部分孩子已能就近入學,某數(shù)學學習興趣小組對八年級(1)班學生上學的交通方式進行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結果畫出下列兩個不完整的統(tǒng)計圖(圖1、圖2).請根據(jù)圖中的信息完成下列問題.
(1)該班參與本次問卷調(diào)查的學生共有多少人;
(2)請補全圖1中的條形統(tǒng)計圖;
(3)在圖2的扇形統(tǒng)計圖中,“騎車”所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線
對稱軸為______,頂點坐標為______;
在坐標系中利用五點法畫出此拋物線.
x | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ | ||
y | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
若拋物線與x軸交點為A、B,點在拋物線上,求的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,G為⊙O上一點,連接AG交CD于K,在CD的延長線上取一點E,使EG=EK,EG的延長線交AB的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)連接DG,若AC∥EF時.
①求證:△KGD∽△KEG;
②若,AK=,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在ABCD中,E、F分別是AD、BC上的點,將平行四邊形ABCD沿EF所在直線翻折,使點B與點D重合,且點A落在點A′處.
(1)求證:△A′ED≌△CFD;
(2)連結BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四邊形BFDE的面積.
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