Question

【題目】若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)M滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)M叫做“整點(diǎn)”．例如：P(1，0)、Q(2，﹣2)都是“整點(diǎn)”．拋物線y＝mx2﹣4mx+4m-2(m0)與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域(包括邊界)恰有七個(gè)整點(diǎn)，則m的取值范圍是( )

A. <m≤1B. ≤m<1C. 1<m≤2D. 1<m<2

Answer 1

【答案】A

【解析】

畫(huà)出圖象，利用圖象可得m的取值范圍

∵y=mx2-4mx+4m-2=m（x-2）2-2且m＞0，
∴該拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2．
由此可知點(diǎn)（2，0）、點(diǎn)（2，-1）、頂點(diǎn)（2，-2）符合題意．
①當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1）和（3，-1）時(shí)（如答案圖1），這兩個(gè)點(diǎn)符合題意．
將（1，-1）代入y=mx2-4mx+4m-2得到-1=m-4m+4m-2．解得m=1．
此時(shí)拋物線解析式為y=x2-4x+2．
由y=0得x2-4x+2=0．解得x1=2- ≈0.6，x2=2+≈3.4．
∴x軸上的點(diǎn)（1，0）、（2，0）、（3，0）符合題意．
則當(dāng)m=1時(shí)，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，-1）、（3，-1）、（2，-1）、（2，-2）這7個(gè)整點(diǎn)符合題意．
∴m≤1．【注：m的值越大，拋物線的開(kāi)口越小，m的值越小，拋物線的開(kāi)口越大】

答案圖1（m=1時(shí)）答案圖2（m=時(shí)）
②當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（4，0）時(shí)（如答案圖2），這兩個(gè)點(diǎn)符合題意．
此時(shí)x軸上的點(diǎn)（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合題意．
將（0，0）代入y=mx2-4mx+4m-2得到0=0-4m+0-2．解得m=，

此時(shí)拋物線解析式為y=x2-2x．
當(dāng)x=1時(shí)，得y=×1-2×1=-＜-1．∴點(diǎn)（1，-1）符合題意．
當(dāng)x=3時(shí)，得y=×9-2×3=-＜-1．∴點(diǎn)（3，-1）符合題意．
綜上可知：當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，-1）、（3，-1）、（2，-2）、（2，-1）都符合題意，共有9個(gè)整點(diǎn)符合題意，
∴m=不符合題．
∴m＞．
綜合①②可得：當(dāng)＜m≤1時(shí)，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)有七個(gè)整點(diǎn)，
故選：A．