Question

【題目】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與A，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，CP．點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是　 　，直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù)是　 　．

（2）類比探究：如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，請寫出的值及直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．

（3）解決問題：如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E是CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線ME上，請直接寫出點(diǎn)B，P，D在同一條直線上時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1），60°；（2），30°，見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)， ，當(dāng)點(diǎn)P在DB延長線上時(shí),＝2+．

【解析】

（1）如圖1中，連接PC，BD，延長BD交PC于K，交AC于G．證明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理即可解決問題．

（2）如圖設(shè)MN交AC于F，延長MN交PC于E．證明△ACP∽△AMN，推出∠ACP＝∠AMN，可得結(jié)論．

（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用三角形中位線定理即可解決問題．

解：（1）如圖1中，連接PC，BD，延長BD交PC于K，交AC于G．

∵CA＝CB，∠ACB＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠CAB＝∠PAD＝60°，AC＝AB，

∴∠PAC＝∠DAB，

∵AP＝AD，

∴△PAC≌△DAB（SAS），

∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，

∵AN＝ND，AM＝BM，

∴BD＝2MN，

∴．

∵∠CGK＝∠BGA，∠GCK＝∠GBA，

∴∠CKG＝∠BAG＝60°，

∴BK與PC的較小的夾角為60°，

∵M(jìn)N∥BK，

∴MN與PC較小的夾角為60°．

故答案為，60°．

（2）如圖設(shè)MN交AC于F，延長MN交PC于E．

∵CA＝CB，PA＝PD，∠APD＝∠ACB＝120°，

∴△PAD∽△CAB，

∴，

∵AM＝MB，AN＝ND，

∴，

∴△ACP∽△AMN，

∴∠ACP＝∠AMN， ，

∵∠CFE＝∠AFM，

∴∠FEC＝∠FAM＝30°．

（3）設(shè)MN＝a，由（2）得，

∵∠ACB＝90°，△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=AM

∴，

∴PC＝a，

∵M(jìn)E是△ABC的中位線，∠ACB＝90°，

∴ME是線段BC的中垂線，

∴PB＝PC＝a，

∵M(jìn)N是△ADB的中位線，

∴DB＝2MN＝2a，

如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，PD＝DB﹣PB＝（2﹣）a，

∴．

如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在DB延長線上時(shí),PD＝DB+PB＝（2+）a，

∴＝2+．