【題目】綜合與探究
如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).點(diǎn)是射線上一點(diǎn),過點(diǎn)作直線,與軸右側(cè)的拋物線交于點(diǎn).點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿射線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.請(qǐng)解答下列問題:
(1)求直線AC的表達(dá)式與點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,若以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;
(3)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,
①點(diǎn)的坐標(biāo)為 (用含的代數(shù)式表示,結(jié)果需化簡(jiǎn));
②當(dāng)點(diǎn)落在拋物線的對(duì)稱軸上且點(diǎn)在線段上時(shí),在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn),,,F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1),C (0,2); (2) 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2) ;(3) ①(,)或(,);②(,)
【解析】
(1)先求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求解;
(2)分類討論,當(dāng)Q在軸上方或下方時(shí),利用,求得QD的長(zhǎng)即可求解;
(3)①分類討論,當(dāng)P在點(diǎn)B的左側(cè)或右側(cè)時(shí),利用,即可求解;
②先求得點(diǎn)的坐標(biāo),再求得t的值,利用菱形的性質(zhì)即可求解.
(1)令,則,
解得:,
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(5,0),
令,則,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),
設(shè)直線AC的解析式為,
將點(diǎn)A的坐標(biāo)(-1,0)代入得,
解得:,
∴直線AC的解析式為;
(2)如圖,當(dāng)Q在軸上方時(shí),作QD⊥AB于D,
∵ACQP為平行四邊形,
∴CQ∥AP,
∴CO=QD=2,
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2,
∴,
解得:,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,
∴AP=CQ=4,
∴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4秒時(shí),ACQP為平行四邊形;
如圖,當(dāng)Q在軸下方時(shí),作QD⊥AB于D,
∵ACPQ為平行四邊形,
∴PQ=AC,PQ∥AC,
∴∠CAO=∠QPD,
∴,
∴CO=QD=2,PD=AO=1,
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-2,
∴,
解得:(不合題意,舍去),
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,
∴OD=,
∴,
∴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí),ACPQ為平行四邊形;
綜上,當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為或秒時(shí),A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形;
(3)①連接PD,過D作DE⊥AB于E,BD交PQ于G,
∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(0,2),
∴AO=1,CO=2,
∴,
∵BD關(guān)于直線對(duì)稱,AP=t,
∴BP=PD=AB-AP=6-t,PQ⊥BD,BG=DG,
∵PQ∥AC,
∴∠CAO=∠BPG,
∴
∴,即,
∴,則,
∵
∴∠ACO=∠PBG,
∴
∴,即,
∴,,
∴,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),
當(dāng)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),如圖,
同理可得,,
∴,
此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),
綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)或(,);
②存在,理由如下:
由①知PQ⊥BD,BG=DG,
∵四邊形BPDF為菱形,
∴DF=BP,DF∥BP,
拋物線的對(duì)稱軸為,
∵點(diǎn)在對(duì)稱軸上,且點(diǎn)在線段上,如圖:
∴,
解得:,
∴,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(,),即(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖 1、圖 2 均是 6×6 的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),小正方形的邊長(zhǎng)為 1,點(diǎn) A、B、C、D 均在格點(diǎn)上.在圖 1、圖 2 中,只用無刻度的直尺,在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖,所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,不要求寫出畫法.
(1)在圖 1 中以線段 AB 為邊畫一個(gè)△ABM,使∠ABM=45°,且△ABM 的面積為 6;
(2)在圖 2 中以線段 CD 為邊畫一個(gè)四邊形 CDEF,使∠CDE=∠CFE=90°,且四邊形 CDEF 的面積為 8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)操作:如圖,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),直線與相交于點(diǎn),請(qǐng)利用圖畫出一對(duì)以點(diǎn)為對(duì)稱中心的全等三角形,(不寫畫法).
根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動(dòng):
(2)探究一:如圖,在四邊形中,為邊的中點(diǎn),與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),試探究線段與,之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)探究二,如圖,相交于點(diǎn),交于點(diǎn),且,若,求的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,∠ C=90°,AC=5,BC=12,D 是 BC 邊的中點(diǎn).
(1)尺規(guī)作圖:過點(diǎn) D 作 DE⊥AB 于點(diǎn) E;(保留作圖痕跡,不寫做法)
(2)求 DE 的長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段,則的坐標(biāo)為______________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】、為的切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)、,延長(zhǎng)交于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接、,與交于點(diǎn).
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,點(diǎn)是弧的中點(diǎn),連接交AD于點(diǎn),求證:;
(3)如圖3,在(2)的條件下:連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接交于點(diǎn),若,,求線段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲投資銷售一種利潤(rùn)率為0.4的電子產(chǎn)品,第一次購(gòu)入的電子產(chǎn)品銷售完后,甲取出28萬元,并把剩下的本金和利潤(rùn)全部用于購(gòu)入該電子產(chǎn)品;第二次購(gòu)入的電子產(chǎn)品銷售完后,再次取出19.6萬元,并把剩下的本金和利潤(rùn)全部用于購(gòu)入該電子產(chǎn)品;第三次購(gòu)入電子產(chǎn)品銷售完后,再次取出6.72萬元.并把剩下的本金和利潤(rùn)全部用于購(gòu)入該電子產(chǎn)品;第四次購(gòu)入的電子產(chǎn)品銷售完后,本次銷售額為9.8萬元,這樣,甲投資該項(xiàng)目的本金和利潤(rùn)全部收回,則甲投資該項(xiàng)目的本金是_____萬元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①,②,③,④,⑤(m為實(shí)數(shù)),正確的有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α(0°<α<180°).點(diǎn)P是平面內(nèi)不與A,C重合的任意一點(diǎn),連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP,連接AD,CP.點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N是AD的中點(diǎn).
(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),的值是 ,直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù)是 .
(2)類比探究:如圖2,當(dāng)α=120°時(shí),請(qǐng)寫出的值及直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù),并就圖2的情形說明理由.
(3)解決問題:如圖3,當(dāng)α=90°時(shí),若點(diǎn)E是CB的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線ME上,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B,P,D在同一條直線上時(shí)的值.
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