Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn) （ 為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，與 軸相 交于點(diǎn) 、（點(diǎn) 在點(diǎn) 的右側(cè)）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn) 的坐標(biāo)；

（2）將直線(xiàn) 向下平移 （ ）個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn) ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接 、，在 正半軸上是否存在點(diǎn) ，使以 、、 為頂點(diǎn)的三角形與 相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；（2）（2，﹣2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（6，0）

【解析】

（1）將代入中得出b的值，從而確定拋物線(xiàn)的解析式，再令得出點(diǎn)B 的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法得出直線(xiàn)OA的解析式y=x，再設(shè)出平移后的解析式y=x﹣m，與二次函數(shù)解析式組成方程組，再根據(jù)△=16﹣4m=0，求出m的值，從而確定 的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)得出OA和OD的長(zhǎng)，再分△OAP∽△OBD和△OAP∽△ODB兩種情況進(jìn)行討論即可．

解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x2+bx經(jīng)過(guò)A（4，4），

∴將A點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得：，

∴拋物線(xiàn)的解析式是y=x2﹣3x．

令，得：，解得：，.

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.

（2）設(shè)直線(xiàn)OA的解析式為y=k1x，由點(diǎn)A（4，4），

得：4=4k1，解得：k1=1 ，

∴直線(xiàn)OA的解析式為y=x，

∴直線(xiàn)OA向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為：

y=x﹣m，

∴x﹣m=x2﹣3x，

∵拋物線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，

此時(shí)x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2）．

（3）由點(diǎn)A（4，4）可得，∠AOB=45°,

由點(diǎn)D（2，—2）可得，∠DOB=45°,

∴∠AOB=∠DOB.

，

.

如圖，當(dāng)∠OAP=∠OBD時(shí)，△OAP∽△OBD,

則，.

∴ ，∴OP=.

如圖，當(dāng)∠OAP=∠ODB時(shí)，△OAP∽△ODB,

則，，即，

∴ OP=6

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（6，0）．