【題目】如圖1,在直角坐標系xoy中,直線l與x、y軸分別交于點A(4,0)、B(0, )兩點,∠BAO的角平分線交y軸于點D.點C為直線l上一點,以AC為直徑的⊙G經過點D,且與x軸交于另一點E.
(1)求證:y軸是⊙G的切線;
(2)請求⊙G的半徑r,并直接寫出點C的坐標;
(3)如圖2,若點F為⊙G上的一點,連接AF,且滿足∠FEA=45°,請求出EF的長?

【答案】
(1)解:連接GD,

∵∠OAB的角平分線交y軸于點D,

∴∠GAD=∠DAO,

∵GD=GA,

∴∠GDA=∠GAD,

∴∠GDA=∠DAO,

∴GD∥OA,

∴∠BDG=∠BOA=90°,

∵GD為半徑,

∴y軸是⊙G的切線;


(2)解:∵A(4,0),B(0, ),

∴OA=4,OB= ,

在Rt△AOB中,由勾股定理可得:AB= ,

設半徑GD=r,則BG= ﹣r,

∵GD∥OA,

∴△BDG∽△BOA,

= ,

r=4( ﹣r),

∴r= ;

∴C的坐標為(1,4)


(3)解:過點A作AH⊥EF于H,連接CE、CF,

∵AC是直徑,

∴AC=2× =5

∴∠AEC=∠AFC=90°

∵∠FEA=45°

∴∠FCA=45°

∴在Rt△AEH中,

由勾股定理可知:AF=CF= ,

設OE=a

∴AE=4﹣a

∵CE∥OB

∴△ACE∽△ABO

=

∴CE=

∵CE2+AE2=AC2

(4﹣a)2+(4﹣a)2=25

∴a=1或a=7(不合題意,舍去)

∴AE=3

∴在Rt△AEH中,

由勾股定理可得,AH=EH= ,

∴在Rt△AEH中,

由勾股定理可知:FH2=AF2﹣AH2= =8,

∴FH=2

∴EF=EH+FH=


【解析】(1)要證明y軸是⊙G的切線,只需要連接GD后證明GD⊥OB即可.(2)由(1)可知GD∥OA,則△BDG∽△BOA,設半徑為r后,利用對應邊的比相等列方程即可求出半徑r的值.(3)由于∠FEA=45°,所以可以連接CE、CF構造直角三角形.由于要求的EF是弦,所以過點A作AH⊥EF,然后利用垂徑定理即可求出EF的長度.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義:有兩條邊長的比值為 的直角三角形叫“潛力三角形”.如圖,在△ABC中,∠B=90°,D是AB的中點,E是CD的中點,DF∥AE交BC于點F.

(1)設“潛力三角形”較短直角邊長為a,斜邊長為c,請你直接寫出 的值為;
(2)若∠AED=∠DCB,求證:△BDF是“潛力三角形”;
(3)若△BDF是“潛力三角形”,且BF=1,求線段AC的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,兩建筑物的水平距離BC為18m,從A點測得D點的俯角α為30°,測得C點的俯角β為60°.則建筑物CD的高度為m(結果不作近似計算).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,小強從熱氣球上測量一棟高樓頂部的傾角為30°,測量這棟高樓底部的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離為45米,則這棟高樓高為多少(單位:米)( )

A.15
B.30
C.45
D.60

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點,點N是AB邊上一動點,將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN,連接A′C,則線段A′C長度的最小值是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某市居民使用自來水按如下標準收費(水費按月繳納):

(1)a=2某用戶一個月用了28 m3,求該用戶這個月應繳納的水費;

(2)設某戶月用水量為n 立方米,n>20則該用戶應繳納的水費________元(用含a、n的整式表示);

(3)a=2,甲、乙兩用戶一個月共用水40m3 ,已知甲用戶繳納的水費超過了24,設甲用戶這個月用水xm3 ,試求甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費(用含x的整式表示).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在邊長為2的正三角形中,將其內切圓和三個角切圓(與角兩邊及三角形內切圓都相切的圓)的內部挖去,則此三角形剩下部分(陰影部分)的面積為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】計算或化簡

(1)(﹣6)÷|﹣|﹣(﹣1)3×(﹣7)

(2)﹣23×[(﹣)+]﹣6×(﹣2÷﹣()+(﹣

(3)x﹣2(x)+(﹣

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知:拋物線C1:y=x2 . 如圖(1),平移拋物線C1得到拋物線C2 , C2經過C1的頂點O和A(2,0),C2的對稱軸分別交C1、C2于點B、D.

(1)求拋物線C2的解析式;
(2)探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結論;
(3)如圖(2),將拋物線C2向m個單位下平移(m>0)得拋物線C3 , C3的頂點為G,與y軸交于M.點N是M關于x軸的對稱點,點P(﹣ m, m)在直線MG上.問:當m為何值時,在拋物線C3上存在點Q,使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案