【題目】如圖,為了測量山坡上一棵樹PQ的高度,小明在點A處利用測角儀測得樹頂P的仰角為450 ,然后他沿著正對樹PQ的方向前進10m到達B點處,此時測得樹頂P和樹底Q的仰角分別是600和300,設(shè)PQ垂直于AB,且垂足為C.
(1)求∠BPQ的度數(shù);
(2)求樹PQ的高度(結(jié)果精確到0.1m, )
【答案】(1)∠BPQ=30°;(2)樹PQ的高度約為15.8m.
【解析】 (1)根據(jù)題意題可得:∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m,在Rt△PBC中,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得∠BPQ度數(shù);
(2)設(shè)CQ=x,在Rt△QBC中,根據(jù)30度所對的直角邊等于斜邊的一半得BQ=2x,由勾股定理得BC=x;根據(jù)角的計算得∠PBQ=∠BPQ=30°,由等角對等邊得PQ=BQ=2x,用含x的代數(shù)式表示PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,又∠A=45°,得出AC=PC,建立方程解之求出x,再將x值代入PQ代數(shù)式求之即可.
(1)依題可得:∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=10m,
在Rt△PBC中,
∵∠PBC=60°,∠PCB=90°,
∴∠BPQ=30°;
(2)設(shè)CQ=x,
在Rt△QBC中,
∵∠QBC=30°,∠QCB=90°,
∴BQ=2x,BC=x,
又∵∠PBC=60°,∠QBC=30°,
∴∠PBQ=30°,
由(1)知∠BPQ=30°,
∴PQ=BQ=2x,
∴PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,
又∵∠A=45°,
∴AC=PC,
即3x=10+x,
解得:x=,
∴PQ=2x=≈15.8(m),
答:樹PQ的高度約為15.8m.
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【題目】等腰△ABD中,AD=BD,將△ABD繞腰BD的中點順時針旋轉(zhuǎn)180°,得到△CDB,CE平分∠BCD交BD于點E,在BC的延長線上取點F,使CF=DE,連接EF交CD于點G.
(1)如圖1,∠A=60°,AB=4,求CF的長;
(2)如圖2,求證:DE=2CG.
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【題目】若平面直角坐標系中,兩點關(guān)于過原點的一條直線對稱,則這兩點就是互為鏡面點,這條直線叫鏡面直線,如A(2,3)和B(3,2)是以y=x為鏡面直線的鏡面點.
(1)M(4,1)和N(﹣1,﹣4)是一對鏡面點,則鏡面直線為_____;
(2)以y=x為鏡面直線,E(﹣2,0)的鏡面點為_____.
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【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點A(3,0)和點B(4,3).
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)求二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸.
(3)直接畫出函數(shù)的圖象(不列表).
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【題目】某商品的進價為每件20元,售價為每件30元,每個月可賣出180件;如果每件商品的售價每上漲1元,則每個月就會少賣出10件,但每件售價不能高于35元,設(shè)每件商品的售價上漲x元(x為整數(shù)),每個月的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;求x為何值時y的值為1920?
(2)每件商品的售價為多少元時,每個月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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【題目】如圖,拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為a,E.F分別是邊AD、BC的中點,點G在CD上.且,DF、EG相交于點H.
(1)求出的值;
(2)求證:EG⊥DF;
(3)過點H作MN∥CD,分別交AD、BC于點M、N,點P是MN上一點,當點P在什么位置時,△PDC的周長最小,并求△PDC周長的最小值.
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【題目】比較A組、B組中兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差,一下說法正確的是( )
A.A組,B組平均數(shù)及方差分別相等B.A組,B組平均數(shù)相等,B組方差大
C.A組比B組的平均數(shù)、方差都大D.A組,B組平均數(shù)相等,A組方差大
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【題目】打折前,買20件A商品和30件B商品要用2200元,買50件A商品和10件B商品要用2900元.若打折后,買40件A商品和40件B商品用了3240元,比不打折少花多少錢?
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