Question

【題目】如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上（ “點(diǎn)D不與重合），點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，以為邊作作等邊三角形，連接.

（1）如圖1，當(dāng)的延長線與的延長線相交，且在直線的同側(cè)時，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求證：；

（2）如圖2，當(dāng)反向延長線與的反向延長線相交，且在直線的同側(cè)時，求證：；

（3）如圖3， 當(dāng)反向延長線與線段相交，且在直線的異側(cè)時，猜想、、之間的等量關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）=+，理由見詳解.

【解析】

(1)由是等邊三角形，，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，是等邊三角形，易證 GDE CDF(SAS)，即可得到結(jié)論；

(2)過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，易證 GDE CDF(SAS)，即可得到結(jié)論；

(3)過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，易證 GDE CDF(SAS)，即可得到結(jié)論.

（1）∵是等邊三角形，，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴是等邊三角形，

∴DG=DC.

∵是等邊三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，

在 GDE和 CDF中，

∵，

∴ GDE CDF(SAS)，

∴；

（2）過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，如圖2，

∵是等邊三角形，，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴是等邊三角形，

∴DG=DC.

∵是等邊三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，

在 GDE和 CDF中，

∵，

∴ GDE CDF(SAS)，

∴，

∴

（3）=+，理由如下：

過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，如圖3，

∵是等邊三角形，，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴是等邊三角形，

∴DG=DC=GC.

∵是等邊三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，

在 GDE和 CDF中，

∵，

∴ GDE CDF(SAS)，

∴=GC+CE=CD+CE.