【題目】如圖，己知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分線交AC于D，以D為圓心，DA為半徑作圓，與射線交于點(diǎn)E、F．有下列結(jié)論： ①△ABC是直角三角形；②⊙D與直線BC相切；③點(diǎn)E是線段BF的黃金分割點(diǎn)；④tan∠CDF=2．
其中正確的結(jié)論有（ ）

A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)

【答案】A
【解析】解：∵32+42=52 ， ∴AB2+AC2=AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，①正確；
作DM⊥BC于M，如圖所示：
∵BD是∠ABC的平分線，
∴DM=DA，
∴⊙D與直線BC相切，
∴②正確；
∵∠BAC=∠DMC=90°，
在Rt△BDM和△BDA中，
，
∴Rt△BDM≌△BDA（HL），
∴MB=AB=3，
∴CM=BC﹣MB=2，
∵∠C=∠C，
∴△CDM∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：DM= ，
∴DF=DE= ，
∴BD= = = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，BF=BD+DF= + ，
∵EF2=9，BFBE=（ + ）（ ﹣ ）=9，
∴EF2=BFBE，
∴點(diǎn)E是線段BF的黃金分割點(diǎn)，③正確；
∵tan∠CDF=tan∠ADB= = =2，
∴④正確；
正確的有4個(gè)．
故選：A．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用切線的判定定理和黃金分割，掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=0.618AB即可以解答此題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點(diǎn)E．
（1）證明：四邊形ACDE是平行四邊形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD、AB上，且DE=BF，∠ECA=∠FCA．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某體育老師對自己任教的55名男生進(jìn)行一百米摸底測試，若規(guī)定男生成績?yōu)?6秒合格，下表是隨機(jī)抽取的10名男生分A、B兩組測試的成績與合格標(biāo)準(zhǔn)的差值（比合格標(biāo)準(zhǔn)多的秒數(shù)為正，少的秒數(shù)為負(fù)）．

A 組

﹣1.5

+1.5

﹣1

﹣2

﹣2

B組

+1

+3

﹣3

+2

﹣3


（1）請你估算從55名男生中合格的人數(shù)大約是多少？
（2）通過相關(guān)的計(jì)算，說明哪個(gè)組的成績比較均勻；
（3）至少舉出三條理由說明A組成績好于B組成績，或找出一條理由來說明B組好于A組．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線l1經(jīng)過點(diǎn)E（1，0）和F（5，0），并交y軸于D（0，﹣5）；拋物線l2：y=ax2﹣（2a+2）x+3（a≠0），
（1）試求拋物線l1的函數(shù)解析式；
（2）求證：拋物線 l2與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（3）若a=1，拋物線l1、l2頂點(diǎn)分別為、；當(dāng)x的取值范圍是時(shí)，拋物線l1、l2 上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)同時(shí)隨橫坐標(biāo)增大而增大；
（4）若a=1，已知直線MN分別與x軸、l1、l2分別交于點(diǎn)P（m，0）、M、N，且MN∥y軸，當(dāng)1≤m≤5時(shí)，求線段MN的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上（不與點(diǎn)A、B、C重合），點(diǎn)P是直線AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）．設(shè)∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且n=90°時(shí)

①若PD∥BC，PE∥AC，則m=_____；

②若m=50°，求x+y的值．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出x、y、m、n之間的數(shù)量關(guān)系．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【問題情境】

在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如圖1），求證：PD+PE=CF．

圖① 圖② 圖③

證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．（不要證明）

【變式探究】

當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時(shí)，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

請運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：

【結(jié)論運(yùn)用】

如圖4，將長方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；

【遷移拓展】

在直角坐標(biāo)系中.直線l1：y=與直線l2：y=2x+4相交于點(diǎn)A，直線l1、l2與x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P到直線l1的距離為1.求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，M為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過M作MD⊥AC，過M作ME⊥CB于點(diǎn)E，則線段DE的最小值為_______.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在菱形ABCD中，邊長為10，∠A=60°，順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結(jié)四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結(jié)四邊形A2B2C2D2各邊中點(diǎn)，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去…．則四邊形A2B2C2D2的周長是 ；四邊形A2015B2015C2015D2015的周長 ．

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