【題目】在△ABC中,點D、E分別在邊AC、BC上(不與點A、B、C重合),點P是直線AB上的任意一點(不與點A、B重合).設(shè)∠PDA=x,∠PEB=y,∠DPE=m,∠C=n.

(1)如圖,當點P在線段AB上運動,且n=90°時

①若PD∥BC,PE∥AC,則m=_____;

②若m=50°,求x+y的值.

(2)當點P在直線AB上運動時,直接寫出x、y、m、n之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)①90°,②140°;(2)詳見解析.

【解析】分析:(1)①證明四邊形DPEC為平行四邊形可得結(jié)論;
②根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°,列等式求出x+y的值;
(2)根據(jù)P、D、E位置的不同,分五種情況:①y-x=m+n,如圖2,點P在BA的延長線上時,根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理列等式,化簡后得出結(jié)論;
②x-y=m-n,如圖3,點P在BA的延長線上時,根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理列等式,化簡后得出結(jié)論;
③x+y=m+n,如圖4,點P在線段BA上時,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°列等式,化簡后得出結(jié)論;
④x-y=m+n,如圖5,同理得出結(jié)論;
⑤y-x=m-n,如圖6,同理得出結(jié)論.

詳解:(1)①如圖1,

∵PD∥BC,PE∥AC,
∴四邊形DPEC為平行四邊形,
∴∠DPE=∠C,
∵∠DPE=m,∠C=n=90°,
∴m=90°;
②∵∠ADP=x,∠PEB=y,
∴∠CDP=180°-x,∠CEP=180°-y,
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°,
∠C=90°,∠DPE=50°,
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°,
∴x+y=140°;

(2)分五種情況:

①y﹣x=m+n,如圖2,

理由是:

∵∠DFP=n+∠FEC,∠FEC=180°﹣y,

∴∠DFP=n+180°﹣y,

∵x+m+∠DFP=180°,

∴x+m+n+180°﹣y=180°,

∴y﹣x=m+n;

②x﹣y=m﹣n,如圖3,

理由是:

同理得:m+180°﹣x=n+180°﹣y,

∴x﹣y=m﹣n;

③x+y=m+n,如圖4,

理由是:

由四邊形內(nèi)角和為360°得:180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°,

∴x+y=m+n;

④x﹣y=m+n,如圖5,

理由是:

同理得:180°=m+n+y+180°﹣x,

∴x﹣y=m+n;

⑤y﹣x=m﹣n,如圖6,

理由是:

同理得:n+180°﹣x=m+180°﹣y,

∴y﹣x=m﹣n.

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B.3個
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A.
B.
C.
D.

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7

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9

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