Question

【題目】如圖，拋物線C1：y＝（x+）2，平移拋物線y＝﹣x2，使其頂點(diǎn)D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2，拋物線C2交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a．

（1）當(dāng)OC＝2時，求拋物線C2的解析式；

（2）在拋物線的C2的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得AP+CP的長最短？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，連接OP，若OP⊥BC，求此時a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，點(diǎn)P（a，a+）；（3）a＝．

【解析】

（1）拋D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，則點(diǎn)D[a，（a）2]，則拋物線C2的表達(dá)式為：y=﹣（x﹣a）2+（a）2=﹣x2+2ax+（a），即可求解；

（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，則BC交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求點(diǎn)，即可求解；

（3）OP⊥BC，直線BC的表達(dá)式為：yx+（a），則直線OP的表達(dá)式中的k值為2，即可求解．

（1）拋D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，則點(diǎn)D[a，（a）2]，則拋物線C2的表達(dá)式為：y=﹣（x﹣a）2+（a）2=﹣x2+2ax+（a），OC=2=a，解得：a，故拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2x+2；

（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，則BC交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求點(diǎn)．

點(diǎn)A（，0），則點(diǎn)B（2a，0），點(diǎn)C（0，a），將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為：yx+（a），當(dāng)x=a時，ya，故點(diǎn)P（a，a）；

（3）OP⊥BC，直線BC的表達(dá)式為：yx+（a），則直線OP的表達(dá)式中的k值為2，即：2，解得：a．