Question

【題目】如圖，已知直線與軸、軸交與、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、.

備用圖

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).

①點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)相似時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo).

②若，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x2+x+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-x，-x2+x+2），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-x+2），進(jìn)而可得出MN=-x2+4x，CN=|2x-|，由相似三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出x的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)N作NE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則PM=-m+2，MN=-m2+4m，利用相似三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值可用含m的代數(shù)式表示出BM，ME，AE的長度，再利用勾股定理即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+2=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）；

當(dāng)y=0時(shí)，-x+2=0，

解得：x=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．

將A（0，2），B（4，0）代入y=-x2+bx+c，得：，

解得：，

∴這個(gè)拋物線的解析式為y=-x2+x+2．

（2）①當(dāng)△MNC∽△BPM相似時(shí)，如圖1所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x2+x+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-x，-x2+x+2），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x+2），

∴MN=-x2+x+2-（-x+2）=-x2+4x，CN=|x-（-x）|=|2x-|．

∵△MNC∽△BPM，

∴，即，

解得：x1=，x2=-（舍去），x3=1，x4=7（舍去），

∴或，

∴當(dāng)△MNC∽△BPM時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）或（）．

②過點(diǎn)N作NE⊥AB于點(diǎn)E，如圖2所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則PM=-m+2，MN=-m2+4m，

∴BM=PM=-m+2，ME=MN=（-m2+4m），

NE=2ME=（-m2+4m），AE=tan30°×NE=NE=（-m2+4m），

∴BM+ME+AE=AB，

即-m+（-m2+4m）+（-m2+4m）=，

整理得：（）m2-（）m=0，

解得：m1=0（舍去），m2=，

∴當(dāng)∠NAB=60°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），即．