【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+ca≠0)與x軸交于A﹣40),B20),與y軸交于點C02).

1)求拋物線的解析式;

2)若點D為該拋物線上的一個動點,且在直線AC上方,當以A、C、D為頂點的三角形面積最大時,求點D的坐標及此時三角形的面積;

3)以AB為直徑作⊙M,直線經(jīng)過點E﹣1﹣5),并且與⊙M相切,求該直線的解析式.

【答案】1y=x2x+2;(22,D的坐標為(﹣22);(3y=xy=x

【解析】試題分析

(1)由已知條件可設拋物線解析式為: ,再代入點C的坐標(0,2)解得的值即可得到拋物線的解析式;

2)如圖2,過點DDHABH,交直線AC于點G,由A、C的坐標求出直線AC的解析式,設點D的橫坐標為“m”,則可用含“m”的代數(shù)式表達出DG的長,結合SADC=DG×OA即可用“m”的式子表達出其面積,配方即可得到當“m”為何值時,面積最大,并得到面積的最大值;

3如圖3,設過點E的直線與M相切于點F,與x軸交于點N,連接MF,則有MFEN由已知條件易得M的半徑為3,M的坐標為:(1,0),ME=5,RtMFE中可求得EF=4;再證MEF∽△NEM,由兩三角形對應邊成比例可求得MN=,從而可求得點N的坐標為 ,0)或0),結合點E的坐標即可求得直線NE的解析式.

試題解析

1拋物線軸交于A40),B2,0),

∴可設,

拋物線過點C(0,2),

,解得: ,

拋物線的解析式為: ;

2)過點DDHABH,交直線AC于點G,如圖2

設直線AC的解析式為,由已知可得 ,

解得 ,

∴直線AC的解析式為

設點D的橫坐標為m,則點G的橫坐標也為m,

DH=,GH=

DG=DH-GH= ,

SADC=DG·OA

=

=

=,

D在直線AC上方的拋物線上,

m=﹣2時,SADC取到最大值2

此時yD=

∴點D的坐標為(﹣2,2);

3)設過點E的直線與⊙M相切于點F,與x軸交于點N,連接MF,如圖3

則有MFEN

A﹣4,0),B20),

AB=6,MF=MB=MA=3,

∴點M的坐標為:﹣1,0).

∵E﹣1,﹣5),

∴ME=5,∠EMN=90°

∴在RtMFE中,EF=

∵∠MEF=NEM,MFE=EMN=90°

∴△MEF∽△NEM,

,即: ,

解得NM=

N的坐標為(,0)即( ,0)或(,0)即(,0).

設直線EN的解析式為y=px+q

①當點N的坐標為( ,0)時,由題意可得:

解得: ,

∴直線EN的解析式為

②當點N的坐標為(,0)時,

同理可得:直線EN的解析式為:

綜上所述:所求直線的解析式為:

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n/年

2

4

6

8

h/m

2.6

3.2

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