Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90點(diǎn)P在線段BC上，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，連接AP，AQ．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AQ于點(diǎn)D，交AP于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．K是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A，D不重合)，過(guò)點(diǎn)K作GN⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)M，交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．

(1)依題意補(bǔ)全圖1；

(2)求證：NM=NF；

(3)若AM=CP，用等式表示線段AE，GN與BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）BN=AE+GN，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖1即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AP=AQ，求得∠APQ=∠Q，求得∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，等量代換得到∠MFN=∠FMN，于是得到結(jié)論；

（3）連接CE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP=AQ，求得∠PAC=∠QAC，得到∠CAQ=∠QBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CP=CF，求得AM=CF，得到AE=BE，推出直線CE垂直平分AB，得到∠ECB=∠ECA=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）依題意補(bǔ)全圖1如圖所示；

（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，

∴AP=AQ，

∴∠APQ=∠Q，

∵BD⊥AQ，

∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°，

∴∠Q=∠BFC，

∵∠MFN=∠BFC，

∴∠MFN=∠Q，

同理，∠NMF=∠APQ，

∴∠MFN=∠FMN，

∴NM=NF；

（3）連接CE，

∵AC⊥PQ，PC=CQ，

∴AP=AQ，

∴∠PAC=∠QAC，

∵BD⊥AQ，

∴∠DBQ+∠Q=90°，

∵∠Q+∠CAQ=90°，

∴∠CAQ=∠QBD，

∴∠PAC=∠FBC，

∵AC=BC，∠ACP=∠BCF，

∴△APC≌△BFC（AAS），

∴CP=CF，

∵AM=CP，

∴AM=CF，

∵∠CAB=∠CBA=45°，

∴∠EAB=∠EBA，

∴AE=BE，

∵AC=BC，

∴直線CE垂直平分AB，

∴∠ECB=∠ECA=45°，

∴∠GAM=∠ECF=45°，

∵∠AMG=∠CFE，

∴△AGM≌△CEF（ASA），

∴GM=EF，

∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，

∴BN=AE+GN．