【題目】如圖,拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)與x軸交于A、B兩點,拋物線上另有一點Cx軸下方,且使OCA∽△OBC.

(1)求線段OC的長度;

(2)設(shè)直線BCy軸交于點M,點CBM的中點時,求直線BM和拋物線的解析式;

(3)在(2)的條件下,直線BC下方拋物線上是否存在一點P,使得四邊形ABPC面積最大?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)OC=;(2)y=x﹣,拋物線解析式為y=x2x+2;(3)點P存在,坐標(biāo)為(,﹣).

【解析】

(1)令y=0,求出x的值,確定出AB坐標(biāo),根據(jù)已知相似三角形得比例,求出OC的長即可;

(2)根據(jù)CBM的中點,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=BC,確定出C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法確定出直線BC解析式,把C坐標(biāo)代入拋物線求出a的值,確定出二次函數(shù)解析式即可;

(3)過Px軸的垂線,交BM于點Q,設(shè)出PQ的橫坐標(biāo)為x,分別代入拋物線與直線解析式,表示出坐標(biāo)軸,相減表示出PQ,四邊形ACPB面積最大即為三角形BCP面積最大,三角形BCP面積等于PQBC橫坐標(biāo)之差乘積的一半,構(gòu)造為二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)求出此時P的坐標(biāo)即可.

1)由題可知當(dāng)y=0時,a(x﹣1)(x﹣3)=0,

解得:x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),

OA=1,OB=3

∵△OCA∽△OBC,

OC:OB=OA:OC,

OC2=OAOB=3,

OC=

(2)CBM的中點,即OC為斜邊BM的中線,

OC=BC,

∴點C的橫坐標(biāo)為,

OC=,點Cx軸下方,

C(,﹣),

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b,

把點B(3,0),C(,﹣)代入得:,

解得:b=﹣,k=,

y=x﹣,

又∵點C(,﹣)在拋物線上,代入拋物線解析式,

解得:a=,

∴拋物線解析式為y=x2x+2;

(3)點P存在,

設(shè)點P坐標(biāo)為(x,x2x+2),過點PPQx軸交直線BM于點Q,

Q(x,x﹣),

PQ=x﹣﹣(x2x+2)=﹣x2+3x﹣3,

當(dāng)BCP面積最大時,四邊形ABPC的面積最大,

SBCP=PQ(3﹣x)+PQ(x﹣)=PQ=﹣x2+x﹣,

當(dāng)x=﹣時,SBCP有最大值,四邊形ABPC的面積最大,此時點P的坐標(biāo)為(,﹣).

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③數(shù)軸上表示的兩點之間的距離是 ;

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3)應(yīng)用:

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