Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點A（a，0），B（m，n），C（p，n），其中m＞p＞0，n＞0，點A，C在直線y＝﹣2x+10上，AC＝2，OB平分∠AOC．

（1）求△OAC的面積；

（2）求證：四邊形OABC是菱形；

（3）射線OB上是否存在點P，使得△PAC為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S△AOC＝10；（2）見解析；（3）存在，理由見解析.P（2，1）或（6，3）．

【解析】

（1）先根據(jù)點A（a，0）在直線y=-2x+10上，求得點A的坐標，在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理列出方程（5-p）2+n2=（2）2，再根據(jù)點C（p，n）在直線y=-2x+10上，得到方程n=-2p+10，進而求得n和p的值，根據(jù)點C的坐標，即可得出結(jié)論；

（2）求得OC的長，最后根據(jù)菱形的定義判定四邊形OABC是菱形；

（3）先判斷出∠APC=90°，再求出直線OB的解析式，利用等腰直角三角形的性質(zhì)建立方程即可得出結(jié)論．

（1）∵點A（a，0）在直線y＝﹣2x+10上，

∴0＝﹣2a+10，即a＝5，

∴A（5，0），即OA＝5，

過C作CE⊥OA于點E，

則∠AEC＝90°，AE＝5﹣p，

∵在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，

∴（5﹣p）2+n2＝（2）2，

又∵點C（p，n）在直線y＝﹣2x+10上，

∴n＝﹣2p+10，

∴（5﹣p）2+（﹣2p+10）2＝（2）2，

解得p1＝3，p2＝7，

∴當p＝3時，n＝4；當p＝7時，n＝﹣4（舍去），

∴C（3，4），∴S△AOC＝OA×|yC|＝×5×4＝10；

（2）在Rt△OCE中，OC＝＝5，

∴OC＝OA，

∵OB平分∠AOC，

∴∠1＝∠2，

∵B（m，n），C（p，n），

∴BC∥x軸，

∴∠3＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴OC＝BC＝5，

∴OA∥BC，且OA＝BC，

∴四邊形OABC是平行四邊形，

∵OC＝OA，

∴平行四邊形OABC是菱形；

（3）存在，理由：

如圖1，

∵四邊形OABC是菱形，

∴AD＝CD，AC⊥OB，

∵A（5，0），C（3，4），

∴D（4，2），B（8，4），

設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，

∴8k＝4，

∴k＝，

∴直線OB的解析式為y＝x，

設(shè)P（m，m），

∴DP＝＝|m﹣4|，

∵△PAC為直角三角形，

∴∠APC＝90°，

∴DP＝AD＝CD＝AC，

∴|m﹣4|＝，

∴m＝2或m＝6，

∴P（2，1）或（6，3）．