【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究,已知AB=8.
問題思考:
如圖1,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.
(1)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),這兩個(gè)正方形面積之和是定值嗎?如果時(shí)求出;若不是,求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值.
(2)分別連接AD、DF、AF,AF交DP于點(diǎn)A,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形?請(qǐng)說明理由.
問題拓展:
(3)如圖2,以AB為邊作正方形ABCD,動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng),且PQ=8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中,PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng).
(4)如圖(3),在“問題思考”中,若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn),且AM=BM=1,點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中,GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值.
【答案】(1)當(dāng)x=4時(shí),這兩個(gè)正方形面積之和有最小值,最小值為32;
(2)存在兩個(gè)面積始終相等的三角形,圖形見解析;
(3)PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)為6π;
(4)點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為3,OM+OB的最小值為.
【解析】
(1)設(shè)AP=x,則PB=1-x,根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個(gè)正方形面積之和=x2+(8-x)2,配方得到2(x-4)2+32,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解;
(2)根據(jù)PE∥BF求得PK=,進(jìn)而求得DK=PD-PK=a-=,然后根據(jù)面積公式即可求得;
(3)PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90°的圓弧;
(4)GH中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上,然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì),求出OM+OB的最小值.
(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值.
設(shè)AP=x,則PB=8-x,
根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32,
所以當(dāng)x=4時(shí),這兩個(gè)正方形面積之和有最小值,最小值為32;
(2)存在兩個(gè)面積始終相等的三角形,它們是△APK與△DFK.
依題意畫出圖形,如圖所示.
設(shè)AP=a,則PB=BF=8-a.
∵PE∥BF,
∴,
即,
∴PK=,
∴DK="PD-PK=" a-=,
∴S△APK=PKPA=a=,S△DFK=DKEF=(8-a)=,
∴S△APK=S△DFK;
(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上,
若點(diǎn)P在點(diǎn)A,點(diǎn)Q在點(diǎn)D,此時(shí)PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn);
若點(diǎn)Q在DA邊上,且不在點(diǎn)D,則點(diǎn)P在AB上,且不在點(diǎn)A.
此時(shí)在Rt△APQ中,O為PQ的中點(diǎn),所以AO=PQ=4.
所以點(diǎn)O在以A為圓心,半徑為4,圓心角為90°的圓弧上.
PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90°的圓弧,如圖所示:
所以PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)為:×2π×4=6π;
(4)點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為3,OM+OB的最小值為.
如圖,分別過點(diǎn)G、O、H作AB的垂線,垂足分別為點(diǎn)R、S、T,則四邊形GRTH為梯形.
∵點(diǎn)O為中點(diǎn),
∴OS=(GR+HT)=(AP+PB)=4,即OS為定值.
∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上.
∵M(jìn)N=6,點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)O為GH中點(diǎn),
∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為線段XY,XY=MN=3,XY∥AB且平行線之間距離為4,點(diǎn)X與點(diǎn)A、點(diǎn)Y與點(diǎn)B之間的水平距離均為2.5.
如圖,作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)M′,連接BM′,與XY交于點(diǎn)O.
由軸對(duì)稱性質(zhì)可知,此時(shí)OM+OB=BM′最小.
在Rt△BMM′中,由勾股定理得:BM′=.
∴OM+OB的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了幫助市內(nèi)一名患“白血病”的中學(xué)生,東營(yíng)市某學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)15名同學(xué)積極捐款,捐款情況如下表所示,下列說法正確的是( 。
捐款數(shù)額 | 10 | 20 | 30 | 50 | 100 |
人數(shù) | 2 | 4 | 5 | 3 | 1 |
A. 眾數(shù)是100 B. 中位數(shù)是30 C. 極差是20 D. 平均數(shù)是30
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(m,2),B(2,n).過點(diǎn)A作AC平行于x軸交y軸于點(diǎn)C,在y軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)D,使OD=OC,且△ACD的面積是6,連接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】新區(qū)一中為了了解同學(xué)們課外閱讀的情況,現(xiàn)對(duì)初三某班進(jìn)行了“你最喜歡的課外書籍類別”的問卷調(diào)查.用“"表示小說類書籍,“”表示文學(xué)類書籍,“”表示傳記類書籍,“”表示藝術(shù)類書籍.根據(jù)問卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)資料繪制了如下兩副
不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答以下問題:
(1)本次問卷調(diào)查,共調(diào)查了 名學(xué)生,請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在接受問卷調(diào)查的學(xué)生中,喜歡“”的人中有2名是女生,喜歡“”的人中有2名是女生,現(xiàn)分別從喜歡這兩類書籍的學(xué)生中各選1名進(jìn)行讀書心得交流,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求出剛好選中2名是一男一女的概率.
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【題目】甲、乙兩車從地出發(fā),沿同一路線駛向地.甲車先出發(fā)勻速駛向地,后乙出發(fā),勻速行駛一段時(shí)間后,在途中的貨站裝貨耗時(shí)半小時(shí).由于滿載貨物,為了行駛安全,速度減少了,結(jié)果與甲車同時(shí)到達(dá)地,甲乙兩車距地的路程與乙車行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖象如圖所示
(1)的值是________,甲的速度是________.
(2)求乙車距地的路程與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若甲乙兩車距離不超過時(shí),車載通話機(jī)可以進(jìn)行通話,則兩車在行駛過程中可以通話的總時(shí)長(zhǎng)為多少小時(shí)?
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【題目】如圖,直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn).
(1)求直線和反比例函數(shù)的解析式;
(2)若直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、,嘉淇認(rèn)為,請(qǐng)通過計(jì)算說明她的觀點(diǎn)是否正確.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為原點(diǎn),點(diǎn)A(,0),點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)E是邊AB中點(diǎn),把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得△ADC,點(diǎn)O,B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,C.記旋轉(zhuǎn)角為.
(Ⅰ)如圖①,當(dāng)點(diǎn)D恰好在AB上時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(Ⅱ)如圖②,若時(shí),求證:四邊形OECD是平行四邊形;
(Ⅲ)連接OC,在旋轉(zhuǎn)的過程中,求△OEC面積的最大值(直接寫出結(jié)果即可).
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【題目】工廠甲、乙兩個(gè)部門各有員工400人,為了解這兩個(gè)部門員工的生產(chǎn)技能情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,請(qǐng)將下列過程補(bǔ)充完整:
收集數(shù)據(jù):
從甲、乙兩個(gè)部門各隨機(jī)抽取20名員工,進(jìn)行了生產(chǎn)技能測(cè)試,測(cè)試成績(jī)(百分制)如下:
整理、描述數(shù)據(jù):
按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績(jī) 人數(shù) 部門 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 |
(說明:成績(jī)80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀,70—79分為生產(chǎn)技能良好,60—69分為生產(chǎn)技能合格,60分以下為生產(chǎn)技能不合格)
分析數(shù)據(jù):
兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
部門 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 78.3 | 77.5 | |
乙 | 78 | 81 |
得出結(jié)論:
.估計(jì)乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)約為 .
.可以推斷出 部門員工的生產(chǎn)技能水平高.理由為 .
(至少?gòu)膬蓚(gè)不同的角度說明推斷的合理性)
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