【題目】如圖△ABC內(nèi)接于圓O,I是△ABC的內(nèi)心,AI的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)D.
(1)求證:BD=DI;
(2)若OI⊥AD,求的值.
【答案】(1)證明:∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD,∠BAD=∠CAD=∠CBD,
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD,
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD;
(2)解:連接OA、OD、BD和BI,
∵OA=OD,OI⊥AD
∴AI=ID,
∵I為△ABC內(nèi)心,
∴∠BAD=∠BCD,
∴弧BD=弧CD,
∵弧CD=弧CD,
∴∠BCD=∠BAD,
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI,
=(∠BAC+∠ACB),
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=(∠BAC+∠ABC),
∴∠DIB=∠DBI,
∴BD=ID=AI,,
故OD⊥BC,記垂足為E,則有BE=BC,
作IG⊥AB于G,又∠DBE=∠IAG,而B(niǎo)D=AI,
∴Rt△BDE≌Rt△AIG,
于是,AG=BE=BC,但AG=(AB+AC﹣BC),
故AB+AC=2BC,
∴=2.
【解析】(1)要證明ID=BD,利用內(nèi)心的定義可以得到∠ABI=∠CBI,然后利用同弧所對(duì)的圓周角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)外角的和,即可證得∠BID=∠IBD,利用等邊對(duì)等角即可證得;
(2)作IG⊥AB于G,又∠DBE=∠IAG,而B(niǎo)D=AI,證得:Rt△BDE≌Rt△AIG,則AG=BE=BC,根據(jù)直角三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得:AG=(AB+AC﹣BC),再根據(jù)AB+AC=2BC即可求解.
【考點(diǎn)精析】利用三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn),它叫做三角形的內(nèi)心.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 學(xué)校“百變魔方”社團(tuán)準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A,B兩種魔方,已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A種魔方和6個(gè)B種魔方共需130元,購(gòu)買(mǎi)3個(gè)A種魔方和4個(gè)B種魔方所需款數(shù)相同.
(1)求這兩種魔方的單價(jià);
(2)結(jié)合社員們的需求,社團(tuán)決定購(gòu)買(mǎi)A,B兩種魔方共100個(gè).某商店有兩種優(yōu)惠活動(dòng),如圖所示.請(qǐng)根據(jù)以上信息,購(gòu)進(jìn)A種魔方多少個(gè)時(shí),兩種活動(dòng)費(fèi)用相同?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠B=90°, AB//CD,M為BC邊上的一點(diǎn),AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
求證:(1) AM⊥DM;
(2) M為BC的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,B為切點(diǎn),OC平行于弦AD,連接CD。過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,交AC于點(diǎn)P,求證:點(diǎn)P平分線段DE。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且分別平分∠DAB,∠ABC.
(1)請(qǐng)求出∠AOB的度數(shù),寫(xiě)出AD、AB、BC之間的等量關(guān)系,并給予證明.
(2)設(shè)點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn),PB=5,若AD+BC=16,四邊形ABCD的面積為,求AP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在線段CD上,EF與AC相交于點(diǎn)G,∠BDA+∠CEG=180°.
(1)AD與EF平行嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若點(diǎn)H在FE的延長(zhǎng)線上,且∠EDH=∠C,若∠F=40°,求∠H的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題10分) 如圖,已知:AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,CD是⊙O的切線,AD⊥CD于點(diǎn)D.E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE交⊙O于點(diǎn)F,連結(jié)OC,AC.
(1)求證:AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.
①求∠OCE的度數(shù).
②若⊙O的半徑為2 ,求線段EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,同時(shí)將點(diǎn)A(﹣1,0)、B(3,0)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,分別得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D.連接AC,BD
(1)求點(diǎn)C、D的坐標(biāo),并描出A、B、C、D點(diǎn),求四邊形ABDC面積;
(2)在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,連接PA、PC使S△PAC=S四邊形ABCD?若存在,求點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市是蜜桔之鄉(xiāng),今年桔子大豐收,某合作社要把240噸桔子運(yùn)往某市的A、B兩地,用大、小兩種貨車(chē)共20輛,恰好能一次性運(yùn)完這批桔子,已知這兩種貨車(chē)的載重量分別為15噸/輛和10噸/輛.
(1)這兩種貨車(chē)各有多少輛?
(2)運(yùn)往A地的運(yùn)費(fèi)為:大車(chē)630元/輛,小車(chē)420元/輛;運(yùn)往B地的運(yùn)費(fèi)為:大車(chē)750元/輛,小車(chē)550元/輛.若把20輛貨車(chē)中的10輛安排前往A地,其余貨車(chē)前往B地,其中調(diào)往A地的大車(chē)有a輛,求總運(yùn)費(fèi).(用含a的式子表示)
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