Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留π）
（2）求證：OD=OE；
（3）求證：PF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=12，

∴CO=6，

∴ = =2π；

答：劣弧PC的長(zhǎng)為：2π

（2）證明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中，

，

∴△POE≌△AOD（AAS），

∴OD=EO

（3）證明：

法一：

如圖，連接AP，PC，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA，

由（2）得OD=EO，

∴∠ODE=∠OED，

又∵∠AOP=∠EOD，

∴∠OPA=∠ODE，

∴AP∥DF，

∵AC是直徑，

∴∠APC=90°，

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF，

又∵DP∥BF，

∴∠ODE=∠EFC，

∵∠OED=∠CEF，

∴∠CEF=∠EFC，

∴CE=CF，

∴PC為EF的中垂線，

∴∠EPQ=∠QPF，

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP，

∴∠QPF=∠EAP，

∴∠QPF=∠OPA，

∵∠OPA+∠OPC=90°，

∴∠QPF+∠OPC=90°，

∴OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切線．

法二：

設(shè)⊙O的半徑為r．

∵OD⊥AB，∠ABC=90°，

∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE

又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣ BC

∴BF=BC+FC=r+ BC

∵PD=r+OD=r+ BC

∴PD=BF

又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，

∴四邊形DBFP是矩形

∴∠OPF=90°

OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切線．

【解析】（1）根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式l= 進(jìn)行計(jì)算即可；（2）證明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）連接AP，PC，證出PC為EF的中垂線，再利用△CEP∽△CAP找出角的關(guān)系求解．
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和弧長(zhǎng)計(jì)算公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的．