Question

如圖，拋物線與雙曲線相交于點(diǎn)A、B，且拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2,2），點(diǎn)B在第四象限內(nèi).過點(diǎn)B用直線BC∥x軸，點(diǎn)C為直線BC與拋物線的另一交點(diǎn)，已知直線BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸距離的4倍，記拋物線頂點(diǎn)為E.

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）計(jì)算△ABC與△ABE的面積；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD的面積等于△ABE的面積的8倍，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）∵點(diǎn)A（－2,2）在雙曲線上

∴

∴雙曲線的解析式為                                        …………2分

∵直線BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸距離的4倍

∴可設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，－4m）（m＞0），代入雙曲線解析式即可得到m=1.

∴拋物線過點(diǎn)A（－2,2）、B（1，－4）、O（0,0）

∴∴

∴拋物線的解析式為.                                  …………4分

（2）∵物線的解析式為.

∴頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為

∵B（1，－4）

∴，解之得：

∴C（－4，－4）

∴

由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，2）、（1，－4）可求得直線AB的解析式為

設(shè)拋物線對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)F，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∴.                           …………8分

（3）∵

∴

∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，顯然滿足條件

當(dāng)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合時(shí)，過點(diǎn)C作AB的平行線，其對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為

令

解之得：

當(dāng)時(shí)，

∴存在另一點(diǎn)D（3，－18）滿足條件.                              …………12分