Question

如圖，拋物線與雙曲線相交于點(diǎn)A、B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥Ox，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，

∴k=4.

 故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.

設(shè)點(diǎn)B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有

    解得

于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

故，

整理得，

解得t=-2或(舍去)

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2）

∵點(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，

∴解得

（2）如圖，∵AC∥x軸，

∴C（-4，4），∴CO＝. 又BO=，

∴.

設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，

 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0）.

∵∠COD＝∠BOD＝45°，∴∠COB=90°（i）將△BOA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△B’OA.這時(shí)，點(diǎn)B’(-2，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（4，-1）.

延長(zhǎng)OA₁到點(diǎn)E₁，使得OE₁=2OA₁，這時(shí)點(diǎn)E₁（8，-2）是符合條件的點(diǎn).．．．．．9分

（ii）作△BOA關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△BOA₂，得到點(diǎn)A₂（1，-4）；延長(zhǎng)O A₂到點(diǎn)E₂，使得OE₂＝2OA₂，這時(shí)點(diǎn)E₂（2，-8）是符合條件的點(diǎn)

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（8，-2），或（2，-8）.