Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y＝﹣3x+3與直線AB：y＝ax+b交于點(diǎn)A，且B（﹣9，0）．

（1）若F是第二象限位于直線AB上方的一點(diǎn)，過F作FE⊥AB于E，過F作FD∥y軸交直線AB于D，D為AB中點(diǎn)，其中△DFF的周長是12+4，若M為線段AC上一動點(diǎn)，連接EM，求EM+MC的最小值，此時y軸上有一個動點(diǎn)G，當(dāng)|BG﹣MG|最大時，求G點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在（1）的情況下，將△AOC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′OC'，如圖2，將線段OA′沿著x軸平移，記平移過程中的線段OA′為O′A″，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)O′，A″，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）-，（0，）；（2）存在，（2，2+3）或（﹣9，2）或（6﹣3，﹣2）

【解析】

（1）點(diǎn)，則點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線、過點(diǎn)M作y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)H，MH＝MCcosα＝MC，當(dāng)點(diǎn)E、M、H三點(diǎn)共線時，EM+MH＝EM+MC最小，點(diǎn)，EM+MC最小值＝EH＝xC﹣xE＝；作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接BM′交y軸于點(diǎn)G，則此時|BG﹣MG|最大，即可求解；

（2）設(shè)線段OA′沿著x軸平移了m個單位，則點(diǎn)O′、A″的坐標(biāo)分別為（m，0）、(，)，而點(diǎn)，

①當(dāng)O′A″是菱形的邊時，則EP（P′）＝O′A″＝OA＝3，即可求解；

②當(dāng)O′A″是菱形的對角線時，設(shè)點(diǎn)P（a，b），由中點(diǎn)公式得：，，而EO＝EA，即：，即可求解．

（1）由AC：得：點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：，

∴，

則，則

點(diǎn)，點(diǎn)A，代入y＝ax+b，

得：，解得：

則直線AB的表達(dá)式為：，

∴，

∴，則，

∵FE⊥AB，FD∥y軸，則∠F＝∠ABO＝30°，

設(shè)：，則，，△DFF的周長是，

則，解得：，

D為AB中點(diǎn)，則點(diǎn)，

s＝ED＝4，則，

則點(diǎn)，

過點(diǎn)C作x軸的垂線、過點(diǎn)M作y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)H，如圖1：

則∠HMC＝∠ACO＝α，則MH＝MCcosα＝MC，

當(dāng)點(diǎn)E、M、H三點(diǎn)共線時，EM+MH＝EM+MC最小，

則，

點(diǎn)M在直線AC上，則點(diǎn)，

作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接BM′交y軸于點(diǎn)G，如圖2：

則點(diǎn)G為所求，此時|BG﹣MG|最大，

將、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b，

解得：

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為：；

綜上，EM+MC最小值為：﹣，G的坐標(biāo)為：（0，）；

（2）將△AOC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′OC'，

則△OAA′為邊長為4的等邊三角形，則點(diǎn)A′（，），

設(shè)線段OA′沿著x軸平移了m個單位，

則點(diǎn)O′、A″的坐標(biāo)分別為（m，0）、（，），而點(diǎn)，

①當(dāng)O′A″是菱形的邊時，

直線OA′和直線AB的傾斜角都是30°，故O′A″∥OA′∥AB，

則EP（P′）＝O′A″＝OA＝3，

則xP﹣xE＝3cos30°＝，

故點(diǎn)P（2，2+3），

同理點(diǎn)P′（，2）；

②當(dāng)O′A″是菱形的對角線時，

設(shè)點(diǎn)P（a，b），

由中點(diǎn)公式得：，，

而EO＝EA，即：，

解得：，b＝﹣2，﹣6，

故：6﹣3，，

則點(diǎn)P（6﹣3，﹣2）；

綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為：（2，2+3）或（﹣9，2）或（6﹣3，﹣2）．