Question

【題目】如圖①，四邊形OACB為長方形，A（﹣6，0），B（0，4），直線l為函數(shù)y＝﹣2x﹣5的圖象．

（1）點C的坐標為 ；

（2）若點P在直線l上，△APB為等腰直角三角形，∠APB＝90°，求點P的坐標；

小明的思考過程如下：

第一步：添加輔助線，如圖②，過點P作MN∥x軸，與y軸交于點N，與AC的延長線交于點M；

第二步：證明△MPA≌△NBP；

第三步：設(shè)NB＝m，列出關(guān)于m的方程，進而求得點P的坐標．

請你根據(jù)小明的思考過程，寫出第二步和第三步的完整解答過程；

（3）若點P在直線l上，點Q在線段AC上（不與點A重合），△QPB為等腰直角三角形，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（﹣6，4）；（2）（﹣5，5），見解析；（3）（﹣3，1）或（﹣7，9）

【解析】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可以求得．
(2)由△MPA≌△NBP列出方程即可求解．

(3)分三種情形討論①，利用圖1中即可求出．
②，利用圖2中即可求出．
③，利用圖3中即可求出．

解：（1）∵四邊形AOBC是矩形，

，

∴點C的坐標為．

故答案為C．

（2）根據(jù)題意得：，

∵為等腰直角三角形，

，

，

，

，

在中，

，

，

，

設(shè)，則，

，

，

解得：，

∴點P的坐標為；

（3）設(shè)點Q的坐標為，

分3種情況討論：

①當時，如右圖，過點P作軸于點M，點Q作軸于點N，

,

,

在中，

，

，

代入，解得：，

．

此時點Q不在線段AC時，不合題意，舍棄．

②當時，

若點P在BQ上方，即為（2）的情況，此時點Q與點A重合，由于題設(shè)中規(guī)定點Q不與點A重合，故此種情況舍去；

若點P在BQ下方，如右圖，過點P作于點N，作軸于點M，

設(shè)，

，

，

在中，

，

，

，

，

把P坐標代入，得，

解得：.

此時點P的坐標為；

③當時如右圖，過點Q作軸于點M，過點P作垂足為N，

設(shè)，

，

，

在中，

，

，

，

，

把P坐標代入，得：，

解得：，此時點P的坐標為，

綜上所述，點P的坐標為或．